0197

198

III. Pochodne i różniczki

Niekorzystne we wzorze Lagrange’a jest to, że figuruje w nim nieznana nam liczba 6 C) (lub c). Nie przeszkadza to jednak różnorodnym zastosowaniom tego wzoru w analizie.

113. Granica pochodnej. Pożyteczny przykład takiego zastosowania daje następująca uwaga. Załóżmy, że funkcja /(x) jest ciągła w przedziale <x₀, x₀ + H} (H> 0) i ma pochodną skończoną/'(jc) dla x>x₀. Jeśli istnieje granica skończona lub nieskończona

lim f'(x)=K,

x-+xo + 0

to pochodna prawostronna w punkcie x₀ jest jej równa. Rzeczywiście, dla 0<dx^H mamy (la). Jeśli zlx-»0, to wobec ograniczoności wielkości 6 argument pochodnej x₀ + 6Ax dąży do x₀, tak że prawa strona równości, a wraz z nią i lewa strona dążą do granicy K. Analogiczne twierdzenie może być udowodnione również dla lewostronnego otoczenia punktu x₀.

Rozpatrzmy jako przykład funkcję

/(x)=x arc sin x+•>/1 — x²

w przedziale < —1, 1>. Jeśli —1 <x<l, to zgodnie ze zwykłymi regułami rachunku różniczkowego znajdujemy łatwo

X    X

/'(*)=arc sin jc-1—    —--— =arcsin x .

V l-*² V¹-*²

Przy x-*l —0 (x-+ — l +0) pochodna ta dąży oczywiście do granicy    (—•Jn), a więc i dla x= ±1

istnieją pochodne jednostronne

/'(±l) = ±łrc.

Najczęściej stosujemy powyższą uwagę w następujących okolicznościach. Z tego, że wyrażenie znalezione dla pochodnej dąży do +oo (—oo) przy x~+x₀, wyciągamy wniosek, że sama pochodna f'(x₀) równa się -t-oo (—oo).

Jeśli wrócimy, na przykład, do funkcji /₁(x)=x^l/3 i /₂(x)=x^2/3, które rozpatrywaliśmy w ustępie 101, to dla nich (gdy x>0 lub x<0) mamy

1 2

^/l(x)=3x^2/3’    ^ ⁼ 3x^1/3

Ponieważ pierwsze z tych wyrażeń dąży do +oo przy x-*±0, drugie przy x-> +0 i przy x—> —0 ma odpowiednio granice +oo lub — oo, wnosimy stąd, że /i(x) ma w punkcie x=0 obustronną pochodną równą +oo, podczas gdy dla /₂(x) istnieją tylko pochodne jednostronne — prawostronna równa +00 i lewostronna równa —00.

Z tego, co powiedzieliśmy, wynika również, że jeśli pochodna skończona istnieje w pewnym przedziale, to jest ona funkcją, która nie może mieć zwykłych nieciągłości lub skoków; w każdym punkcie jest ona albo ciągła, albo ma nieciągłość drugiego rodzaju [porównaj 102, 2°].

O Tylko w niewielu wypadkach możemy ją obliczyć. Na przykład dla funkcji f(x)=ax¹+bx+c, jak łatwo sprawdzić, mamy 0=$.