0173

174

III. Pochodne i różniczki

Jeśli Ax dąży do zera, to i Au też dąży do zera [96, 2°], a wtedy, jak wiemy, będzie dążyć również do zera a, które zależy od Au. Istnieje zatem granica

Ay    Au

lim — = y_ulim ~ = y'u_x,

Ax-¹odX    Ax-¹odX

która jest właśnie szukaną pochodną y'_x.

Uwaga. W tym miejscu okazuje się pożyteczna uwaga zrobiona w ustępie 96 o wartości a dla Ax=0. Dopóki Ax było przyrostem zmiennej niezależnej, mogliśmy zakładać, że jest ono różne od zera, lecz kiedy miejsce Ax zajął przyrost funkcji u = (p(x), to nawet dla Ax¥=0 nie mamy już prawa uważać, że Au^0.

99: Przykłady(‘). Przytoczymy najpierw kilka przykładów zastosowania reguł I-IV.

1)    Rozpatrzmy wielomian

y =a₀x" + a_lx"~¹ +... + a„-₂x¹ + a„-_i x+a_n.

24a mocy reguły II, a następnie I, otrzymujemy

y =(flo x")' -Ko, x" ~')' +... + (a„ _ ₂ x²)'+(a„ _ i x)’+(a„)'= =ao(xⁿy+ai(xⁿ~¹y + ... +a„-i(.x²y+a_n-i(x)'+(.a„)'-Wykorzystując dalej wzory 1, 2, 3 [95] otrzymamy ostatecznie

y'=na₀x"~^l +(n—l)aix"~² + ...+2a,-ixĄ-a_ll-_t.

2)    y=(2x² —5x+l)e¹. Według reguły III

y'=(2x² - 5x +1 )’e¹ + (2x² - 5¹+1 )(«¹)'.

Opierając się na poprzednim przykładzie i wzorze (4) [95] otrzymujemy _y>=(4x-5) e^x+(2x² - 5x -t 1) e = {2x² -x-4)e¹.

ax + b

3) y=—j-. Według reguły IV

x +1

_t (aJc + ó)'(Ar² + l) — (ax'+b)(.x² + iy oU^! + I)-(ax + b)2x —ax²—2bx + a

^y    (?+T?    (x² + l)^2    = ~V + 1?

4) Obliczymy na nowo pochodną funkcji y=tgx, wychodząc ze wzoru y = jąc z reguły IV i wzorów 6, 7 [95] otrzymujemy

sin x cos x

. Korzysta-

(sin¹)'cos jt—sin¹ (cos¹)' cos² x+sin² x    1

y =~

cos x

(porównaj 8, ustęp 95).

1

Litery x, y, u, v oznaczają poniżej zmienne, ą inne litery — stałe.