0163

164

III. Pochodne i różniczki

przy tym wskaźnik x nie jest związany z tą szczególną wartością x₀ zmiennej niezależnej, dla której obliczona jest pochodna.

Można powiedzieć w pewnym sensie, że symbole jednolite

¥ , f »ub /;, Df, lub DJ

grają rolę Symbolu funkcji dla pochodnej.

Zapiszmy teraz, korzystając z symboli wprowadzonych na oznaczenie pochodnych, niektóre spośród wyników otrzymanych powyżej.

Dla prędkości ruchu otrzymujemy wzór

ds

v = -- lub v—s,, dt

a dla przyśpieszenia

dv    ,

a = — lub    a = v,.

dt

Analogicznie współczynnik kątowy stycznej do krzywej y—f (xj zapiszemy tak

tga =

dy

dx

lub

itp.

93. Przykłady obliczania pochodnych. Obliczymy jako przykład pochodne kilku funkcji elementarnych.

1° Zanotujemy przede wszystkim oczywiste wyniki: jeśli y=c=const, to Ay—0, jakiekolwiek byłoby Ax, a więc y’ = 0; jeśli zaś y=x, to Ay — Ax i y' = 1.

2° Niech teraz y = x", gdzie n jest liczbą naturalną.

Nadajmy x przyrost Ax(ⁱ); nowa wartość y będzie wtedy równa

fl (ft — j \

y + Ay = (x + Ax)'^, = x" + nx'^,~^lAx+ --- --- x”~²Ax² + ...,

będzie więc

n(n — 1)    ,

Ay = nx ¹Ax+—x ²Ax²+...

Ay    n(n — 1) . ,

— = nx" * +- xⁿ~²Jx+...

Ax    1-2

0) Jeśli obliczamy pochodną dla dowolnej wartości argumentu, to oznaczamy zwykle tę wartość argumentu tą samą literą, co i sam argument, bez jakichkolwiek wskaźników przy niej.