0221

222

III. Pochodne i różniczki

Nie mówi ona nic również i o tym, jak można by przy danym x oddziaływać na wielkość reszty r(x)=r„(xj przez zwiększanie n C), itd.

Dlatego zajmiemy się wyprowadzeniem innych postaci reszty r„(x). Będziemy rozpatrywali tylko przedział <x₀, x₀ + H} (H> 0) na prawo od punktu x₀ i będziemy uważali, że funkcja /(x) jest określona w tym przedziale; przypadek, kiedy funkcja jest określona w przedziale <x₀ — H, jc₀>, może być rozpatrzony analogicznie.

Tym razem zrobimy mocniejsze założenia, będziemy mianowicie zakładali, że w całym przedziale <x₀, x₀+H) istnieje n pierwszych pochodnych

...../‘"W.

że są one ciągłe w tym przedziale i prócz tego, że przynajmniej w przedziale otwartym (x₀, x₀ + H) istnieje skończona pochodna f^(n+1>(x) rzędu w+1.

Zauważmy, że na mocy (6) i (7):

n*o),    , n*o),

(12) r_B(x)=/(x)-/(x₀) —- (x-x₀)--—— (x-x₀) -...----~—(x-x₀)

1 !

2!

Ustalmy teraz dowolną wartość x z przedziału (x₀, x₀ + H} i na podobieństwo prawej strony wzoru (12), zastępując stałą liczbę x₀ przez zmienną z, utworzymy funkcję pomocniczą

, _x , ,, , /'(z),    ,    ,₂ f^W(z),

«ł(z)=/(x)-/(z)---(x-z)--— (x-z) -...--; (x Z) ,

1 !

2!

przy czym uważamy, że zmienna niezależna z zmienia się w przedziale <x₀, x>. W przedziale tym funkcja ę{z) jest ciągła i przybiera na jego końcach wartości (patrz (12)):

<p(x₀) = r_n(x),    <p(x) = 0.

Oprócz tego w przedziale (x₀, x) istnieje pochodna

rrw,    , n rr(z),    ,₂ /»,

<p(.z)=-f (^z) — I ~ (* — z) —/ (z) - —(x-z)--y j (x z) I-

rrw, /"■<=),    ,,i    /<"w.    ,.-,i

lub po uproszczeniu

/^(B+1)(z)

ę'(z)=-^J-^(x-z)".

Weźmy teraz dowolną funkcję y/(z) ciągłą w przedziale <x₀, x) i mającą pochodną różną od zera co najmniej w przedziale otwartym (x₀, x).

(^l) Trzeba pamiętać, że reszta r(x) zależy na ogół od n; aby podkreślić tę okoliczność będziemy w przyszłości oznaczali ją przez r„(x).