0181

182

III. Pochodne i różniczki

ciągłej również przy jt=0 [70, 5)], lecz nie mającej w tym punkcie nawet pochodnych jednostronnych. Rzeczywiście stosunek

/(0-M*)-/(0) f(Ax)    . 1

-=-=sm —

Ax    Ax Ax

nie dąży do żadnej granicy przy Ax-» ±0.

Z wykresu tej funkcji (rys. 24) z łatwością możemy dostrzec, że sieczna OM_t, wychodząca z punktu początkowego 0, nie ma położenia granicznego, gdy dąży do 0, nie ma więc stycznej do krzywej w punkcie początkowym (nawet jednostronnej).

Z czasem (w drugim tomie) zapoznamy się z wyjątkowo interesującym przykładem funkcji ciągłej dla wszystkich wartości argumentu, nie posiadającej jednak pochodnej dla żadnej z tych wartości.

2° Przykłady nieciągłości pochodnej. Jeśli dana funkcja y=f(x) ma pochodną skończoną y'=f'(x) w każdym punkcie pewnego przedziału X, to pochodna ta z kolei jest funkcją x w przedziale X. W licznych przykładach, z którymi spotykaliśmy się, funkcja ta też była ciągła. Może być jednak inaczej. Rozpatrzmy na przykład funkcję

2 1

f(x)=x² sin— (dla x^0),    /(0)=0.

x

Jeśli xź=0, to pochodną tej funkcji można obliczyć stosując zwykłe metody

„ . ¹    1

/'(*)=2x sm--cos —,

x    x

lecz otrzymanego wyniku nie można zastosować dla x=0. Stosując w tym przypadku bezpośrednio definicję pochodnej otrzymamy

/'(0) =

= lim

dx-»0

f(Q+Ax)-m

Ax

— lim Ax sin — =

Ax~* 0    AX

Jednocześnie, rzecz jasna, przy x-f0 pochodna /'(*) nie dąży do żadnej granicy, a więc dla x=0 funkcja /'(*) ma nieciągłość.

To samo zachodzi dla każdej funkcji

/(*)=** sin —    (dla x * 0),    /(O) =0,

x

jeśli tylko 1 <a<2.

W przykładach tych nieciągłości pochodnych były wszystkie nieciągłościami drugiego rodzaju. Nie jest to przypadkowe. Niżej [113] zobaczymy, że nieciągłości pierwszego rodzaju, tzn. skoków pochodna mieć nie może.

§ 2. Różniczka

103. Definicja różniczki. Niech będzie dana funkcja y=f{x), określona w pewnym przedziale X i ciągła w rozpatrywanym punkcie x₀. Przyrostowi Ax argumentu odpowiadać będzie wtedy przyrost

Ay=J/(xo)=f(x₀+Ax) -f(x₀),

nieskończenie mały jednocześnie z Ax. Bardzo ważne jest pytanie, czy istnieje dla Ay wielkość nieskończenie mała AAx (^4=const) liniowa względem Ax i taka, że różnica