0229

230

III. Pochodne i różniczki

spełnia wszystkie warunki (3). Stopień tego wielomianu nie przewyższa m, a więc warunki (3) określają go jednoznacznie. Nazywa się on wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a.

Zauważmy, że wielomian l_k(x) można napisać zwięźlej, jeśli wprowadzi się wyrażenie pomocnicze

co(x)=(x-x₀) (x-Xi)...(x-x_m)

znikające właśnie w węzłach interpolacji x₀, x*.....x_m; jest oczywiście

(x X₀)...(x Xfc_ i) (x-x*₊₁)...(x-x_m) =

oj(x)

X — Xv

(x#X_t),

,    .    ,    V,    V t    .    “(*)    ..    a)(x)-a»(x^

(x*-Xo)...(x_Jk-x*—i)(x_Jk-x_/k+i)...(x_t-x_m)= lim-—= lim-—-=<a(x*).

Tak więc

/*(*)= 7

co(x)

co'(x_k) (x-x_k)

x->Xi,X — X_k *->i_k X — X_k

.    ” co(x)

i L(x)= £ ——--f(x_k).

k=oco(x_k)(x-x_k)

129. Reszta we wzorze interpolacyjnym Lagrange’a. Zajmiemy się teraz oszacowaniem różnicy /(x)—L(x), gdzie x jest dowolną ustaloną liczbą z przedziału <a, b} różną od węzłów interpolacji. Załóżmy, że funkcja /(z) ma w tym przedziale pochodne wszystkich rzędów do m +1 włącznie.

Jakąkolwiek wybierzemy stałą K, funkcja

ę(z) =f(z) - L(z) - Kco(z)

też będzie miała m +1 pochodnych, które ponadto znikają w węzłach x_f (z=0, 1, ..., m). Wybierzmy teraz stałą K tak, by również dla z=xbyło $»(x)=0, tzn. przyjmijmy

(5)    _KJ^(X±-^Ł-^W

co(x)

(ponieważ x#X;, więc co(x)#0). W myśl twierdzenia Rolle’a [111] w m + 1 przedziałach między m+2 pierwiastkami x, x₀, x₁₍ ..., x_m funkcji q(z) istnieje m+1 różnych pierwiastków jej pochodnej q'(z). Stosując znowu twierdzenie Rolle’a do funkcji q\z) i do m przedziałów między jej m +1 pierwiastkami, udowodnimy istnienie m różnych pierwiastków drugiej pochodnej <p"(z) itd. Kontynuując to rozumowanie udowodnimy po m+1 krokach istnienie pierwiastka £ pochodnej rzędu m+1, tzn. ^1J(z), a więc

(6)

ę><"⁺¹)(0 = 0    (a<£<b).

Mamy jednak l^(m+1)(z)=0, bowiem stopień wielomianu L(z) nie przewyższa m, a

ca^(m+1)(z)=(m +1)!. Biorąc pod uwagę sposób, w jaki określona była funkcja pomocnicza

q{z), otrzymujemy

<p^(m+1 )_(z)    + D(_z) _ K ■ (m + n !,

a więc z (6) otrzymujemy, że

K =

f^m+1\0

(m + 1)! ’