0195

0195



196


III. Pochodne i różniczki

Zwracamy uwagę na to, że ciągłość funkcji f(x) w przedziale domkniętym (a, b} i istnienie pochodnej w całym przedziale otwartym (a, b) są istotne dla słuszności tezy twierdzenia. Funkcja f(,x)—x—[x\ spełnia w przedziale <0,1) wszystkie warunki twierdzenia z wyjątkiem tego, że ma nieciągłość dla x= 1, a pochodna f\x) = 1 wszędzie w (0,1). Funkcja określona równościami f{x)=x dla    /(x)=l — x dla £<x<l również

spełnia wszystkie warunki w tym samym przedziale z wyjątkiem tego, że dla nie istnieje pochodna (dwustronna); pochodna f'(x) zaś równa się +1 w lewej połowie przedziału i —1 w prawej.

Tak samo istotny jest i warunek 3) twierdzenia: funkcja f(x)=x w przedziale <0, 1> spełnia wszystkie warunki twierdzenia oprócz warunku 3), a jej pochodna f\x) jest wszędzie równa 1.

Wykonanie rysunków pozostawiamy czytelnikowi.

112. Wzór Łagrange’a. Zajmiemy się bezpośrednimi wnioskami z twierdzenia Rolle’a. Twierdzenie (Lagrange’a). Niech

1)    funkcja f(x) będzie określona i ciągła w przedziale domkniętym (a, by,

2)    istnieje pochodna skończona f\x) co najmniej w przedziale otwartym (a, b).

Wtedy między a i b istnieje taki punkt c (a<c<b), te dla niego spełniona będzie równość

(1)


m-m

b — a


=f'(c).


Dowód. Wprowadzimy funkcję pomocniczą określając ją w przedziale <a,ń> równością

F (x) =f(x) —f{a)--—-(x - a).

b — a

Funkcja ta spełnia wszystkie założenia twierdzenia Rolle’a. Rzeczywiście, jest ona ciągła w <a, b}, jako różnica funkcji ciągłej i funkcji liniowej. W przedziale (a, b) ma ona pochodną skończoną równą

m-m


b — a


F'(x) =/'(*)-

Przez bezpośrednie podstawienie wreszcie przekonujemy się, że F(a)=F(b)=0, tzn. F(x) przybiera na końcach przedziału równe wartości.

Tak więc do funkcji F(x) można zastosować twierdzenie Rolle’a. Stąd wynika istnienie w (a, b) takiego punktu c, że F\c)=0. Tak więc

m


m-m

b — a

stąd


f\c)


m-m

.-j


cbdo.


b — a



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
81579 IMGP4133 Schoen hals, Bematz zwracają uwagę na to, że dziewczynki chorujące na astmę przejawia
Inni znani ekonomowie zwracają uwagę na to, że popyt na pieniądz zależy od kosztów przechowywania go
rozwiazane DSC00677 18. Psychologia postaci zwraca uwagę na to: a)    że nieuświadomi
DSC00529 zwracał uwagę na to, że rozwój cywilizacyjny wytłumia pęd życiowy, nic na szczęście wspomag
Dwiiwersowy zwrot do Franciszka Pertrarki, w którym poeta zwraca uwagę na to, że Petrarka tworząc „S
Dwiiwersowy zwrot do Franciszka Pertrarki, w którym poeta zwraca uwagę na to, że Petrarka tworząc „S
i chłopcy. Zwracamy uwagę na to, że każdy i każda z nas chciałaby/ chciałby robić to, co lubi najbar
347 (16) 347 Kilka uwag dotyczących teorii tekstu (lingwistyki tekstu) Dobrzyńska zwraca uwagę na to
2 • stawianie wyżej dobra grupy niż dobra indywiduabiego jednostki. Zwraca uwagę na to, że społeczny
Podstawy organizacji i zarządzania - referat zwraca uwagę na to, że przeważająca liczba organizacji
III. 24. N. N. 189 i wątpliwościach znaleść jakiś punkt oparcia, trzeba zwrócić uwagę na to, że w
6 (1589) Synteza symboliczna (quasi-przestrzenna) Łuria w licznych publikacjach zwracał uwagę na to,

więcej podobnych podstron