0195

196

III. Pochodne i różniczki

Zwracamy uwagę na to, że ciągłość funkcji f(x) w przedziale domkniętym (a, b} i istnienie pochodnej w całym przedziale otwartym (a, b) są istotne dla słuszności tezy twierdzenia. Funkcja f(,x)—x—[x\ spełnia w przedziale <0,1) wszystkie warunki twierdzenia z wyjątkiem tego, że ma nieciągłość dla x= 1, a pochodna f\x) = 1 wszędzie w (0,1). Funkcja określona równościami f{x)=x dla    /(x)=l — x dla £<x<l również

spełnia wszystkie warunki w tym samym przedziale z wyjątkiem tego, że dla nie istnieje pochodna (dwustronna); pochodna f'(x) zaś równa się +1 w lewej połowie przedziału i —1 w prawej.

Tak samo istotny jest i warunek 3) twierdzenia: funkcja f(x)=x w przedziale <0, 1> spełnia wszystkie warunki twierdzenia oprócz warunku 3), a jej pochodna f\x) jest wszędzie równa 1.

Wykonanie rysunków pozostawiamy czytelnikowi.

112. Wzór Łagrange’a. Zajmiemy się bezpośrednimi wnioskami z twierdzenia Rolle’a. Twierdzenie (Lagrange’a). Niech

1)    funkcja f(x) będzie określona i ciągła w przedziale domkniętym (a, by,

2)    istnieje pochodna skończona f\x) co najmniej w przedziale otwartym (a, b).

Wtedy między a i b istnieje taki punkt c (a<c<b), te dla niego spełniona będzie równość

(1)

m-m

b — a

=f'(c).

Dowód. Wprowadzimy funkcję pomocniczą określając ją w przedziale <a,ń> równością

F (x) =f(x) —f{a)--—-(x - a).

b — a

Funkcja ta spełnia wszystkie założenia twierdzenia Rolle’a. Rzeczywiście, jest ona ciągła w <a, b}, jako różnica funkcji ciągłej i funkcji liniowej. W przedziale (a, b) ma ona pochodną skończoną równą

m-m

b — a

F'(x) =/'(*)-

Przez bezpośrednie podstawienie wreszcie przekonujemy się, że F(a)=F(b)=0, tzn. F(x) przybiera na końcach przedziału równe wartości.

Tak więc do funkcji F(x) można zastosować twierdzenie Rolle’a. Stąd wynika istnienie w (a, b) takiego punktu c, że F\c)=0. Tak więc

m

m-m

b — a

stąd

f\c)

m-m

.-j

cbdo.

b — a