0205

206

III. Pochodne i różniczki

Załóżmy, że dla pewnej wartości n wzór ten jest słuszny. Jeśli dla funkcji u, v istnieją pochodne rzędu n+1, to różniczkując jeszcze raz względem x otrzymamy

/»⁺ⁱ>= £ («) [„<•-'>„('>]'= £ (") _tto.-*+D_p(o₊ £

1 = 0 ^V '    1 = 0 ' ’    1 = 0 ' '

Połączmy teraz składniki obu ostatnich sum, zawierające jednakowe iloczyny pochodnych funkcji u oraz v (suma rzędów pochodnych w takim iloczynie, jak łatwo widać, jest równa n+1). Iloczyn u⁽ⁿ⁺¹ V⁰⁾ znajduje się tylko w pierwszej sumie (j=0); współczynnik jego w tej sumie wynosi (q) = 1. Tak samo w⁽⁰V'^,+1) znajduje się tylko w drugiej sumie (w składniku z numerem i=ń) ze współczynnikiem (”) = 1. Wszystkie pozostałe iloczyny wchodzące w skład tych sum mają postać i/ⁿ⁺¹ ~^k)v^(k\ przy czym    Każdy taki ilo

czyn znajduje się zarówno w pierwszej sumie (składnik z numerem i=k), jak i w drugiej sumie (składnik z numerem i=k— 1). Suma odpowiednich współczynników będzie równa (£) + (,fc”l)- Ale, jak wiadomo,

W ten sposób otrzymujemy ostatecznie

yn₊i)_=M(_n+iyo₎₊ £ (”^¹) m«"^+1)_łV‘⁾ + u⁽⁰V"⁺¹⁾=    ("+¹)u^{((,,+ 1,}-‘V^ł),

gdyż

/»+1\ _ /n+l\ _ i

l o J-U+i/^-1*

Otrzymaliśmy dla y^(B+1) wyrażenie zupełnie analogiczne do wyrażenia (1), tylko n zostało zastąpione przez n+1; tym samym udowodniliśmy słuszność wzoru (1) dla wszystkich wartości naturalnych n.

Wyprowadzony wzór nosi nazwę wzoru Leibniza. Korzystamy z niego często przy wyprowadzaniu ogólnych wzorów na pochodną rzędu n.

Zwracamy uwagę na to, że taki sam wzór można było wyprowadzić i dla pochodnej rzędu n iloczynu kilku czynników y=uv...t; jest on podobny do rozkładu potęgi wielomianu (u+v+...+ty.

118. Przykłady. 1) Znajdziemy za pomocą wzoru Leibniza (1) pochodną

(.r² -cos ax)^(s0\

Podstawmy v = x². u=cos ax. Wtedy

u^m=a* cos (ax+k • ł ji) , v'—2x,    v"=2,    v"' *=v^<4> =... =0.

W ten sposób we wzorze (1) wszystkie składniki oprócz trzech pierwszych są równe zeru i otrzymujemy

50    50 • 49

(w)^<!0>=x²a^!locos(ax+50- Ia)+—• 2xa'⁹ cos(ojc+49-    — • 2a⁴*cos(a;t+48 * -ł- n)=

=a⁴⁸ [(2450—a²x²) cosax—lOOajcsin ax].