0215

216

III. Pochodne i różniczki

Zgodnie z własnością wielomianu p(x) dla funkcji r(x) będą zachodziły oczywiście równości

(9)    r (x₀) = r'(x₀) = r"(x₀) =... = r^M(x₀) = 0 .

Udowodnimy teraz ogólną tezę, że jeśli dla pewnej funkcji r(x), mającej w punkcie x₀ pochodne do rzędu n włącznie, spełnione są warunki (9), to zachodzi związek (8).

Dowód przeprowadzimy metodą indukcji matematycznej. Dla n = l twierdzenie to brzmi: jeśli funkcja r(x) (mająca w punkcie x₀ pochodną rzędu pierwszego) spełnia warunki

r(x₀) = r'(x₀) = 0, to

r(x) = o(x —x₀).

Jego prawdziwość sprawdzamy bezpośrednio,

lim

r(x)

x-x₀

lim

X~*XQ

r(x)-r(x o) x-x₀

= r'(x₀) = 0.

Załóżmy teraz, że twierdzenie jest słuszne dla pewnej wartości n^l; udowodnimy, że pozostaje ono słuszne po zamianie n na «+ 1, tzn. że jeśli dla pewnej funkcji r(x), mającej w punkcie x₀ pochodne do rzędu n +1 włącznie, spełnione są warunki

(9*)    r (x₀) = r'(x₀) = r"(x₀) =... = r⁽ⁿ⁾(x₀) = r⁽"⁺¹ ^o) = 0,

to

(8*)    r(x) = o((x —x₀)^B+1).

Z (9*) widać, że funkcja r'(x) spełnia warunki typu (9), a więc dla niej zgodnie z założeniem indukcyjnym

r'(x) = o((x-x₀)").

Na mocy wzoru Lagrange’a [112] jest jednak

r(x) = r(x)-r(x₀) = r\c)(x-x₀),

gdzie c jest zawarte między x₀ a x. Ponieważ \c—x₀|< \x—x₀|, przeto

r'(c) = o ((c - x_oy) = o ((x - x₀)")

i ostatecznie otrzymujemy

r(x) = o((x —x₀)" ^{+ 1}),

cbdo.

Biorąc pod uwagę (6), (7) i (8) otrzymujemy wzór

(10) /(x)=/(x₀) +

/'(* o) 1 !

(x-x₀) +

r\x o)

(x-x₀y+o((x-x₀y),

który różni się od wzoru (5) dla wielomianów obecnością reszty (8). Resztę w powyższej postaci podał G. Peano. Wzór (10) nazywa się wzorem Taylora z resztą w postaci Peana.