0213

214

III. Pochodne i różniczki

§ 5. Wzór Taylora

123. Wzór Taylora dla wielomianów. Jeśli p(x) jest wielomianem stopnia n : (1)    p{x) = a₀ + a! x + a₂ x² + a₃ x³ +... + a„ xⁿ,

to różniczkując go n razy otrzymujemy

p'(x) = a_i+2a₂x + 3a₃x² +... +na„xⁿ~¹, p"(x) = 1 • 2a₂ + 2- 3u₃x+... + (n — l)na„x"~²,

Podstawiając we wszystkich tych wzorach x=0 wyrazimy współczynniki wielomianu przez wartości samego wielomianu i jego pochodnych w punkcie x=0:

_{KX    p'{ 0)    p"( 0)    p"'(0)    p^M( 0)

a_o = P(0),    «! =

u, = -

a, = -

a„ = -

1!    2!    3!    " n\

Podstawmy te wartości współczynników do (1); otrzymujemy

(2)

, _N ,_ni, p'(0) , p"(0) ₂, p"'(0) 3,    , P^M(0) „

p(x) = p(0) + —_r^ x + - . . x + .. x + ...H--— x .

1!

2!

3!

n !

Wzór ten różni się od wzoru (1) sposobem zapisania współczynników.

Zamiast rozwinięcia wielomianu względem potęg x można wziąć jego rozwinięcie względem potęg x — x₀, gdzie x₀ jest pewną stałą wartością szczególną x,

(3)

p(x) = A₀ + A i(x - x₀) + A₂(x - x₀)² + ,4₃(x - x₀)³ +... + A„(x - x₀)ⁿ.

Oznaczając x—x₀=£, p(x)=p(x₀ + ^) = P(<^), otrzymujemy na mocy wyżej udowodnionego dla współczynników wielomianu

P(0 = A₀ + A^ + A₂^+A₃e + -+A„r

wyrażenia

A_o~P(0),    =

P\0)

1! ’

A₂ =

P"( 0)

TT’

A-i —

P"\0)

3! ’

P^<n,( 0)

A=-— •

n !

Jest jednak

a więc

P(Z) = p(x₀ + i),    P'(Z) = p'(x₀ + 0,    P"«) = p"(x₀ + {),

P(.0) = p(x₀),    P’(0) = p'(x_o),    P"(0) = p"(x₀),    ...

(4)    A₀ = p(x o),    A i ~

P'(x₀) 1! ’

A,=

P"(x o) 2! ’

A,=

P"'(x o) 3!    ’

A =

n :

tzn. okazało się, że współczynniki rozwinięcia (3) są wyrażone przez wartości samego wielomianu i jego pochodnych w punkcie x=x₀.