0507

508

Vn. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Można powiedzieć, że krzywizna średnia charakteryzuje średnią prędkość zmiany kierunku stycznej na pewnym łuku, a krzywizna w punkcie — prędkość chwilową zmiany tego kierunku w danym punkcie.

Zajmiemy się teraz znalezieniem analitycznego wyrażenia dla krzywizny, z którego można by było ją obliczyć, gdy krzywa dana jest parametrycznie.

Załóżmy najpierw, że parametrem jest łuk. Jak wiemy [249], parametryzacja taka jest zawsze możliwa, jeżeli się ograniczyć do łuku krzywej bez punktów osobliwych.

Weźmy na takim łuku krzywej punkt M, któremu odpowiada wartość s parametru. Nadając parametrowi s dowolny przyrost As otrzymujemy drugi punkt M^s+As) (rys. 156). Przyrost Aa kąta nachylenia stycznej do osi x przy przejściu od M do M_x jest równy kątowi co między obiema stycznymi: eo=Aa.

Ponieważ a=As, więc krzywizna średnia jest równa Aa/As.

Niech teraz łuk MM_X =As dąży do zera. Dla krzywizny krzywej w punkcie M otrzymujemy wyrażenie

(2)

, Aa k= lim —= A s

da

ds

Należy podkreślić, że wzór ten jest prawdziwy tylko z dokładnością do znaku, bo według naszego określenia krzywizna jest liczbą dodatnią, a z prawej strony można dostać wynik ujemny. Mianowicie, zarówno Aa jak i As mogą być ujemne, tak że mówiąc ściśle należałoby brać co— \Aa\, a=\As\ oraz

0    uwadze tej należy w przyszłości pamiętać.

Aby nadać wzorowi (2) postać dogodną do bezpośredniego obliczania krzywizny

1    przy tym stwierdzić jej istnienie, wróćmy do dowolnego przedstawienia parametrycznego (1) krzywej.

Ponieważ rozpatrywany punkt M(t) nie jest osobliwy i x'²+y',²>0, więc nie zmniejszając ogólności można przyjąć, że x\ = ę\t)¥= 0.

Napiszmy teraz wzór (2) inaczej

da