0515

516

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Wzory (10) można stosować i w przypadku, gdy krzywa dana jest równaniem biegunowym r=g(0) przyjmując jak zwykle kąt d za parametr.

Jeżeli porównamy wyprowadzone przed chwilą wzory (lOa) ze wzorami na punkt rozgraniczający na normalnej, znalezionymi przy rozwiązywaniu zadania w ustępie 137 (rys. 62), to przekonamy się, że punkt rozgraniczający pokrywa się ze środkiem krzywizny.

Jeszcze ważniejszy wynik otrzymamy, jeżeli porównamy wzory (lOa) i (7a) ze wzorami (22) i (23) z ustępu 243. Mianowicie koło krzywiznowe krzywej w danym punkcie jest po prostu kołem ściśle stycznym. Innymi słowami, koło krzywiznowe w punkcie M krzywej jest granicznym położeniem okręgu przechodzącego przez trzy punkty krzywej dążące do punktu M [244],

Wynik ten można było przewidzieć. W przypadku, gdy rząd styczności krzywej z okręgiem jest równy dwa, rzędna y i pochodne y' i y” w punkcie styczności mają te same wartości dla obu krzywych Tym samym krzywizny i kierunki wypukłości obu krzywych pokrywają się w tym punkcie, bo zależą tylko od wartości tych pochodnych.

254. Definicja ewoluty i ewolwenty; znajdowanie ewoluty. Jeżeli punkt M(x, y) przesuwa się wzdłuż krzywej, to odpowiadający mu środek krzywizny S(£, tj) opisuje na ogół także pewną krzywą. Miejsce geometryczne środków krzywizny danej krzywej będziemy nazywali jej ewolutą. Samą zaś krzywą wyjściową będziemy nazywali ewolwentą krzywej, będącej jej ewolutą.

Wzory (10) lub (lOa) z poprzedniego ustępu, wyrażające współrzędne £, t] środka krzywizny C przez parametr t lub x, można rozpatrywać jako gotowe już parametryczne równania ewoluty. Często wygodnie jest wyrugować z nich parametr i przedstawić ewolutę równaniem uwikłanym

F«,»f) = 0.

Przykład 1. Znaleźć ewolutę paraboli y² = 2px. Korzystając z otrzymanych wyżej [252, 8)] wyników

yy'=p, y³y''=-p²

znajdujemy współrzędne środka krzywizny ze wzorów (lOa):

y²+(yy)²    y²+p²    3 y²

Ś=x-yy'-——=x +-= 3x+/» = -- +p ,

y³y    p    2p

y +(yy) y ₂    2 y

tf=y+y ■ _{v ;}—=y--- (y +p )=--_i.

y y    P    P

Zatem, gdy y jest parametrem, równaniami parametrycznymi ewoluty paraboli są równania

3/

{=—+P,    *=

y

p

3

Rugując z tych równań y otrzymujemy

2 •