0477

478

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

punktu. Będzie zatem

f(o,o)=o, f;(o,o)=o, f;(o,o)=o.

Wprowadźmy oznaczenia

a_tl=F'M 0,0),    n₁₂=F"(0,0),    a₂₂=F^,;₁( 0,0).

Zakładając, że spośród liczb a„, a₁₂, a₂₂ co najmniej jedna jest różna od zera, będziemy klasyfikowali wszystkie możliwe przypadki w zależności od znaku wyrażenia a_iia₂₂—d\₂. Badania tego ustępu wiążą się ściśle z badaniami z ustępu 197.

W tym przypadku, jak wiemy, funkcja F(x, y) ma w początku układu ekstremum. Zatem w dostatecznie małym otoczeniu tego punktu jest F> 0 lub F<0 (wyłączając sam początek układu, w którym F—0). Innymi słowy w otoczeniu tym nie ma ani jednego punktu rozpatrywanej krzywej poza początkiem układu, który tym samym jest punktem izolowanym krzywej.

Przypadek ten ilustrują przykłady

_x² + y²=0 lub (x² + y²) (x + y—1) = 0.

Początek układu należy do obu krzywych i dla obu jest punktem izolowanym. Pierwsza z tych krzywych składa się tylko z tego jednego punktu, ale druga oprócz tego punktu zawiera jeszcze prostą x+y= 1, nie przechodzącą przez początek układu.

2° a₂₂a₂₂—2<0.

W otoczeniu rozpatrywanego punktu przedstawiamy funkcję F(x, y) tak, jak to zrobiliśmy w ustępie 197, to znaczy w postaci

F(x, y)=i{a_llx¹+2a_ilxy + a₂₂y² + a_ux² + 2a, ₂xy+cc₂₂y²},

przy czym wszystkie a,₇-+0, gdy jc-»0 i >’-»0, albo wprowadzając współrzędne biegunowe p, (p w postaci

F(x,y) = |p²{a₁₁ cos² p+2a₁₂cos psin p+

+ a₂₂sin² p + a_ncos² p + 2a₁₂cos psin p + a₂₂sin² p}. Załóżmy jeszcze w rozpatrywanym przypadku, że a₂₂# 0. Trójmian a, _x +2a, ₂t+a₂₂t² ma zatem dwa różne pierwiastki rzeczywiste t₂ i t₂ (t₂<t₂) i rozkłada się na czynniki <t22(t-ti)(t-t₂). Przyjmijmy q>_l=&Tctgt_l, p₂=arctg t₂, czyli f₁=tgp₁, /₂=tgp₂. Łatwo jest teraz przekształcić pierwszy trójmian w nawiasach {...} do postaci

(18) a_ncos² p+2a₁₂cos psin p+a₂₂sin² p=a₂₂cos² p(tg p—tg p₂) (tg <p — tg p₂).

Jest teraz jasne, że proste przechodzące przez początek układu pod kątami pi i p₂ — będziemy je dla krótkości nazywali prostymi (Pi) i (p¹) — dzielą płaszczyznę na dwa takie obszary kątowe, że w jednym z nich omawiany trójmian jest stale dodatni, a w drugim ujemny (‘) (rys. 136).

1

Idziemy tutaj nieco dalej niż w ustępie 197, 2°. Tam wystarczało nam stwierdzenie, że istnieją dwie proste, na których trójmian ten ma różne znaki.