0505

506

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

gdy ds-*0, siecznej ze zwrotem określonym wyżej. Jeżeli przez a oznaczymy kąt między dodatnio skierowaną styczną i dodatnim kierunkiem osi x, to korzystając ze wzoru (13) otrzymamy z (14):

no    ^dx ■ ^dy

(15)    cosa=—, sma=--

ds    as

Wzory te określają kąt a z dokładnością do 2kn (k — liczba całkowita), a tym samym ustalają jeden z dwóch możliwych zwrotów stycznej, mianowicie zwrot dodatni.

Uwaga. Wszystko co powiedzieliśmy w ustępach 245 - 249 o krzywych płaskich można powtórzyć bez istotnych zmian dla krzywych przestrzennych

(1*)    x=<p(t),    y=y/( i),    z=x(t) (t₀śt<T).

Pojęcie długości takiej krzywej można wprowadzić za pomocą tych samych definicji co w ustępie 247. Jeśli funkcje ę, y/, x mają ciągłe pochodne, to długość ta jest skończona i krzywa jest prostowalna. Długość zmiennego łuku liczonego od punktu początkowego do punktu zmiennego, odpowiadającego wartości parametru t,

s=s(t)

jest różniczkowalna względem t i jej pochodna względem t wyraża się wzorem

(10*)

ds

di

=\j x'²+y'_t²+z'_t².

Otrzymujemy stąd wzór na różniczkę łuku

(11*)    ds²=dx²+dy²+dz².

W przypadku gdy krzywa nie ma punktów osobliwych [228], można przejść do takiego przedstawienia parametrycznego krzywej, w którym parametrem jest sam łuk s. Wreszcie, można wprowadzić dodatni zwrot na stycznej, której kosinusy kierunkowe wyrażają się wówczas wzorami

^    d*    „ dy    dz

(15)    cosa=—,    cos p=—, cosy = -—

ds    ds    ds

§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej

250. Pojęcie krzywizny. Niech -będzie dana krzywa zwykła

(1)    x=ę>(0, y=v(t) (t₀<t<T).

Załóżmy teraz, że funkcje ę i yt są ciągłe i mają ciągłe pochodne pierwszego i drugiego rzędu. Będziemy rozpatrywali łuk krzywej (1) bez punktów osobliwych.

Jeżeli przez każdy punkt tej krzywej poprowadzimy styczną mającą, powiedzmy, zwrot dodatni, to wobec „zakrzywienia” krzywej styczna ta będzie się obracać przy przesuwaniu