0449

450

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Należy się zastrzec, że wszystko co powiedzieliśmy wyżej o zwykłym punkcie (x₀, j₀), tzn. o punkcie, w którym nie są spełnione równania (5), odnosi się do punktu, który otrzymuje się z równań parametrycznych krzywej tylko dla jednej wartości parametru t=t₀, a więc do tzw. punktu pojedynczego krzywej. Gdyby punkt (x₀, y₀) był np. podwójny, tzn. gdyby odpowiadał dwóm różnym wartościom t=t₀ i t=t₁ parametru, to ogólnie mówiąc w punkcie tym przecinałyby się dwa łuki krzywej: jeden określony wartościami t bliskimi t₀ i drugi określony wartościami bliskimi . W tym wypadku w otoczeniu tego punktu nie można by całej krzywej przedstawić równaniem nieuwikłanym. Tym samym punkty wielokrotne trzeba także zaliczyć do osobliwych 0).

Podsumujmy to, co powiedzieliśmy. Nie próbowaliśmy sformułować geometrycznej charakteryzacji pojęcia krzywej; dla nas krzywa jest miejscem geometrycznym punktów spełniających zależność analityczną postaci (1), (2) lub (4) przy założeniu, że występujące w niej funkcje są ciągłe i mają ciągłe pochodne. Wprawdzie twory geometryczne określone tymi różnymi sposobami mogą się w całości istotnie różnić postacią, ale lokalnie - w otoczeniu punktu nieosobliwego (a w przypadku przedstawienia parametrycznego przy tym jeszcze pojedynczego) są one podobne do najprostszych tworów, określonych równaniami postaci (1).

224. Przykłady. Zrobimy przegląd najczęściej spotykanych krzywych, wiele z nich zresztą zna czytelnik z geometrii analitycznej.

1)    Linia łańcuchowa (rys. 41 na str. 179). Jej równaniem jest

y=ia(e^x/*+e~^xl‘)=a cosh —• a

Kształt takiej linii przyjmuje w położeniu równowagi wiotka i nierozciągljwa ciężka lina (np. łańcuch, przewodnik itp.) zawieszona za obydwa końce.

W pobliżu wierzchołka A (patrz rysunek) krzywa ta przypomina kształtem parabolę, ale przy oddalaniu się od wierzchołka wznosi się stromiej do nieskończoności. Odcinek OA= a określa dokładniej jej kształt — im a jest mniejsze, tym krzywa jest bardziej stroma. Położenie krzywej względem układu nie musi być oczywiście takie jak na rysunku, przy takim jednak położeniu równanie krzywej ma najprostszą postać.

2)    Elipsa odniesiona do osi symetrii ma równanie

Ponieważ suma kwadratów wielkości x/a i yjb równa się jedności, więc naturalne jest przyjąć je jako kosinus i sinus pewnego kąta t. Prowadzi to do zwykłych równań parametrycznych elipsy x= = a cos t, y=b sin /. Gdy t zmienia się od 0 do 2%, punkt (*, y) obiega elipsę w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara zaczynając od końca A (a, 0) osi wielkiej.

(‘) Jest zresztą jeden przypadek, gdy punkt otrzymany dwa razy nie jest traktowany jako podwójny — mianowicie, gdy odpowiada on skrajnym wartościom przedziału zmienności parametru i krzywa zamyka się w nim. Np. dla okręgu

x=acos8, x=asin8 (O<0<2ir> jest to punkt odpowiadający wartościom 8=0 i 8=2n.