0495

496

vn. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Z dwóch ostatnich równań znajdujemy współrzędne środka przy założeniu, że yó ¥= 0:

(22)

.    , ł+yó

i=x₀-yo

yó

<7=^0 +

1 +y'o

yó

Teraz z pierwszego obliczamy promień (23)

„ u

^R—Wi^-

Te elementy wyznaczają koło ściśle styczne.

Zgodnie z tym co powiedzieliśmy w ustępie 241 z reguły styczna nie przecina krzywej, natomiast koło ściśle styczne przecinają. Wyjątki mogą być w tych punktach, w których rząd styczności jest wyższy niż normalnie.

244. Inue podejście do krzywych ściśle stycznych. Niech będzie dana krzywa y=f(x) i rodzina krzywych (19) o n + 1 parametrach. Weźmy na tej krzywej n + 1 dowolnych punktów o odciętych x_l,x₁,x_n+l. Na to, aby krzywa należąca do rodziny przechodziła przez te punkty, muszą być spełnione równania,

<P{x_t, a, b, ..., 0=0    0(x₂,a,b,    0,    ...,    &(x_n+1, a, b, ..., 0=0.

Zazwyczaj wartości parametrów wyznaczone są przez ten układ jednoznacznie; oznaczmy je przez a*, b*,I*.

Załóżmy teraz, że gdy n+1 wybranych punktów dąży według jakiegoś prawa do pewnego, określonego punktu krzywej y=f(x) o odciętej x₀, to wartości parametrów a*, b*, ...,/* dążą do określonych granic a, b, ..., /. Można powiedzieć, że krzywa należąca do rodziny i przechodząca przez wybrane punkty dąży przy tym do krzywej granicznej przemieszczając się i deformując.

Aby znaleźć krzywą graniczną, przeprowadzimy następujące rozumowanie. Funkcja zmiennej x

<P(x,a*,b*,...,r)

jest równa 0 dla n+1 wartości x₁<x₂<...<x_)I+1 zmiennej x. Zatem według twierdzenia Rolle’a [111] pierwsza pochodna jest równa 0 dla n wartości x\ <x'₂<...<x'_n, druga -dla n—1 wartości x'[<x'₂<...<_t,..., pochodna rzędu n—1 dla dwóch wartości x[ⁿ-¹⁾<x⁽r¹⁾ i wreszcie pochodna rzędu n — dla jednej wartości x^<"⁾; przy tym wszystkie te wartości leżą między x_t i x_n+1.

Tym samym spełnionych jest n+1 równań

^(x₁,a*,b

0'Mx';,a*,b*,

Jeżeli teraz jednocześnie Xx-»x₀, x₂-+x₀, ..., x_n+i->x₀, to a*-*a, b*~*b, ..., /*->/, i oczywiście także xi->x₀, x’(-*x₀, ..., Xiⁿ⁾->x₀. Przechodząc w napisanych wyżej równaniach do granicy wracamy do znanego nam już układu (20) określającego krzywą ściśle styczną.

A więc jeżeli istnieje graniczne położenie krzywej należącej do rodziny i przechodzącej przez n + 1 punktów danej krzywej, to ta graniczna krzywa jest krzywą ściśle styczną.