0501

502

Vn. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Ponieważ iS^,=sup{/?}₎ więc z (8) otrzymujemy jednocześnie oszacowanie z góry dla S: (9)    S<V L²+L*²(T—t₀),

które przyda się nam teraz. Potrzebne nam jest i oszacowanie z dołu. Mianowicie jeżeli się wprowadzi najmniejsze wartości li l* funkcji \<p'(t)\ i \y/'(t)\ w przedziale <f₀, T>, to podobnie jak oszacowanie (8) otrzymujemy z (7) nierówność

p>s/l² + r²(T-t₀)

i tym bardziej

(9*)    S>V/⁵+?^J(7’-t₀).

Jeżeli się zmienia parametr t i wraz z nim położenie punktu M(t) na krzywej, to długość zmiennego łuku AM okazuje się funkcją parametru t. Będziemy tę funkcję oznaczali przez

Rys. 151

S=s(t).

Nadajmy zmiennej t dodatni przyrost At. Punkt M przesunie się wtedy wzdłuż krzywej w kierunku B, do położenia M' (rys. 151). Z wykazanej w poprzednim ustępie własności addytywności łuku wynika, że wielkość s zwiększy się przy tym o dodatni przyrost As równy długości łuku MM'. Wobec tego funkcja s(t) jest rosnąca.

Rozpatrzmy teraz zamiast przedziału </₀, T> przedział <r₀, t₀+Atj i zastosujmy do łuku MM' o długości As oszacowania (9) i (9*):

Jl² + l*²At^As*ś\/L² + L*²At.

Tutaj przez / i L oraz /* i L* należy rozumieć najmniejsze i największe wartości funkcji \ę'(t)\ i |/(/)| w przedziale </, t+At}. Stąd

At

Gdy At-*0, to wobec ciągłości pochodnych obie liczby / i h dążą do \ę'[t)\, a obie liczby /* i L* do \_V\t)\. Tym samym obydwa pierwiastki w otrzymanej nierówności dążą do wspólnej granicy

V[ę-'(0]² + [/(0]².

Do tej samej granicy musi też dążyć iloraz Asi At. Łatwo dostrzec, że tak samo jest dla At<0. A więc długość zmiennego luku s=s(t) jest różniczkowalną funkcją parametru t i jej pochodna względem tego parametru jest określona wzorem

s'(0= lim —=V[>'(0²] + lv (O] ²,

At-*Q dl