0475

476

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Ponieważ obie styczne muszą leżeć w płaszczyźnie stycznej (14), więc spełnione są równania

Ax'_u + By'_u + Cz'=0,

Ax'„ + By'_v + Cz'_v = 0.

Współczynniki A, B, C muszą być wobec tego proporcjonalne do wyznaczników macierzy

y'u z«"|

IX yi zJ

Zazwyczaj przyjmujemy, że są równe tym wyznacznikom:

(15)

A =

y_u z.

y« z,

B =

C =

, y»

x_v y'_v

Teraz równanie płaszczyzny stycznej najprościej jest napisać w postaci

X'~x Y-y Z-z

(16)    y' z! =0.

W punkcie zwykłym równanie to. określa rzeczywiście płaszczyznę. Kosinusami kierunkowymi normalnej są

cosA=

(17)

±>Ja²+B² + C²’    ^C0S/* ±y/A² + B? + C²’

C

cos v =

±y/A² + B² + C²'

235. Przykłady.

1) Rozpatrzmy linię śrubową (rys. 128. na str. 464)

x=a cos t, y=a sin r,

z=ct.

W tym przypadku

x',= — asinr, y,'=acosr,

z!

c,

i równania stycznej mają postać

X—x Y-y Z-z

—asinf acosr

c

Kosinusy kierunkowe stycznej są równe

asinr    acosr

cosa=--    , cos B=—--------

-Ja²+c²    y/a²+c

cosy=

c

V7+?‘

Zauważmy, że cos y=const, a więc i y=const.