2335501603

12

A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

2.4 Homotopia odwzorowań

Wiemy już co to znaczy, że dwie drogi a, r : I —* X (należące do D(p, q)) są homotopijnie równoważne. W podobny sposób można zdefiniować równoważność homotopijną, gdy odcinek I zastąpimy dowolną przestrzenią topologiczną Y. W przypadku odcinka istotną rolę odgrywał dwuelementowy podzbiór A = {0,1} C I. Rozpatrywaliśmy tylko drogi er,r : I —* X takie, że o\A — t\A.

Niech teraz Y będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A C Y będzie ustalonym podzbiorem.

Definicja 2.4.1. Niech f,g : Y —* X będą odwzorowaniami ciągłymi takimi, że f\A = g\A. Mówimy, że odwzorowania / i g są homotopijnie równoważne względem A, co zapisujemy jako /    9,

jeśli istnieje odwzorowanie ciągle F :Y x I —> X takie, że:

F(y,0)	= m,	dla	yeY,
F(v,l)	= g(y),	dla	yeY,
F(v,t)	= f(y) = y(y),	dla	y € A, teł.

Odwzorowanie F nazywamy homotopią względem A od / do g.

Powyższa homotopijność względem A jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich funkcji ciągłych z X do Y identycznych na zbiorze A.

Definicja 2.4.2. W przypadku, gdy 4 = 0, piszemy / ~ g (zamiast / g) i mówimy, że funkcje / i g są homotopijne.

Zatem funkcje f,g : Y —* X są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe F :Y x I —► X takie, że:

f F(y, 0) = f{y), dla yeY,

\ F(y, 1) = g(y),    dla yeY,

Przykład 2.4.3. Niech X = Y = R". Niech f,g : Rⁿ —► R" będą funkcjami takimi, że f jest identycznością, a g jest odwzorowaniem stałym przyjmującym stalą wartość 0. Wtedy odwzorowanie

F : Rⁿ x I —» R", (x,t) i—* tx,

jest homotopią od f do g. El

Definicja 2.4.4. Jeśli X jest taką przestrzenią topologiczną, że odwzorowanie identycznościowe jest homotopijne z odwzorowaniem stałym, to mówimy, że przestrzeń X jest ściągalna.

Definicja 2.4.5. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest jednospójna, gdy jest łukowo spójna i ma trywialną grupę podstawową.

Twierdzenie 2.4.6 ([12] 19).

(1)    Przestrzeń X jest ściągalna <==> dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y każde dwie funkcje ciągłe zY do X są homotopijne.

(2)    Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.

(3)    Każdy wypukły podzbiór w Rⁿ jest ściągalny.

(4)    Przestrzeń ściągalna jest jednospójna. KI

Definicja 2.4.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe p : X —* Y nazywa się homotopijną równoważnością, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe i\>Y —> X takie, że tpijj ~ lx i ifiip ~ 1 y- Jeśli takie odwzorowanie ip istnieje, to mówimy, że przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii.