1636661057

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Katarzyna Grabowska, KMMF 12 listopada 2013

1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd:

1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy

W poprzednim paragrafie zdefiniowaliśmy odwzorowanie styczne i relacje kostyczną. Sprawdźmy jak działają one nie tylko na pojedyncze wektory i kowektory ale na pola wektorowe i formy. Niech F : M —* N będzie odwzorowaniem gładkim. Zauważmy, że jeśli y = F(x) to dla (3_y € T*A^f istnieje dokładnie jeden kowektor w T*M będący w relacji kostycznej z 0. Wynika to z faktu, ze relacja kostyczna obcięta do przestrzeni kostycznych w punktach x i y — F(x) jest odwzorowaniem liniowym (sprzężonym do TF). Jeśli więc 0 jest jednoformą na N, to wzór

(i)

M 3 x i—► TF{0{F(x))) € TM określa jednoformę na M. Zobaczmy jak to wygląda na diagramie

M—

Definicja 1 Jednoformę zadaną wzorem (1) oznaczać będziemy F*(3 i nazywać cofnięciem formy 0 przez odwzorowanie F. Zamiast „cofnięcie” mówi się też czasami „pull-back”.

Szczegónie prosto wyglada wzór na cofnięcie jednoformy, która jest różniczką funkcji

f*d/ = d(/oF),

Gdybyśmy funkcję / o F oznaczyli F*f i nazwali cofnięciem funkcji, moglibyśmy stwierdzić, że cofnięcie jest przemienne z braniem różniczki F*df = d(F*f).

Nieco gorzej ma się sprawa z polami wektorowymi. Odwzorowanie styczne działa „z lewej do prawej”

1