8344044622

strona 10

29 września 2008, godzina 17:13

94.    Niech A będzie niepustym zbiorem i niech / : A —* A.

(a)    Udowodnić, że jeśli / jest różnowartościowa to relacja r C A x A, dana warunkiem

xry    3n G N(fⁿ(x) = y V fⁿ(y) = x)

jest relacją równoważności.

(b)    Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne, tj. czy jeśli r jest relacją równoważności to / musi być różnowartościowa?

(c)    Podać przykład takich A i /, że r ma nieskończenie wiele skończonych klas abstrakcji, każdą o innej liczbie elementów. (Można zrobić rysunek.)

95.    Niech Z[x] oznacza zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x o współczynnikach całkowitych i niech r będzie taką relacją w zbiorze Z [ar], że (/, g) G r zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy różnica / — g ma wszystkie współczynniki parzyste. Pokazać, że r jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.

96.    Niech s będzie taką relacją w zbiorze Q^N, że (/,<?) G s zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy różnica f — g jest zbieżna do zera. Pokazać, że s jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.

97.    Niech s będzie taką relacją w zbiorze Z^N, że (/, g) G s zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy 3nVm > n(/(m) = y(m)). Pokazać, że s jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.

98.    Niech s będzie taką relacją w zbiorze Z^N, że (/, g) € s zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy 3nVm > n(/(m) = y(m)). Pokazać, że s jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.

99.    Niech r C N x N będzie relacją równoważności w zbiorze N, i niech / : N x N —> P(N) będzie taka, że /((x,y)) = [x]_r U [y]_r , dla dowolnych x,y G N. Czy funkcja / jest różnowartościowa? Czy jest na P(N)? Znaleźć /^-1({[3]_r}) oraz f(r).

100.    Niech rCNxN będzie relacją równoważności w zbiorze N, i niech / : N x N —» P(N) będzie taka, że f((x,y)) = \x\_r fi [y\_r , dla dowolnych x, y G N. Czy funkcja / jest różnowartościowa? Czy jest na P(N)? Znaleźć /^_1({[3]_r}) oraz /(N x N — r).

101.    Niech IZ będzie niepustą rodziną relacji równoważności w zbiorze A taką, że dla dowol

nych r, s G IZ zachodzi r C s lub s C r. Udowodnić, że s = (J TZ jest relacją równoważności, oraz że [a]_s =    dla dowolnego a G A.

102.    Niech r\,T2 będą takimi relacjami równoważności w zbiorze A, że r\ fi r% — id a oraz (n;r₂) = A x A. Znaleźć bijekcję z A/r\ x A/ri do A.

103.    Niech ri,r₂ będą relacjami równoważności w zbiorze A. Czy z tego, że A/r\ = Ajr-i wynika, że r\ = r₂? Pokazać, że zbiór {u C A : 3a G A(u = [a]_ri fi [a]_r2)} jest zbiorem klas abstrakcji pewnej relacji równoważności w zbiorze A. Co to za relacja?

104.    Niech R i S będą relacjami równoważności w zbiorze N wszystkich liczb naturalnych i niech funkcja / : N —► P(N) będzie taka, że dla dowolnego x G N, f(x) — [x]^ fi [x]s-Udowodnić, że / jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy gdy R fi S jest relacją identycznościową.