8344044627

strona 15

29 września 2008, godzina 17:13

151.    Które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe?

Jeśli f : A —+ B oraz f(A) fi B to A < B Jeśli ^ < 1 * C fil to ~AxTC < B xC

152.    Czy produkt przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych musi być przeliczalny?

153.    Znaleźć moc zbioru wszystkich czteroelementowych podziałów zbioru R.

154.    Udowodnić, że na płaszczyźnie istnieje okrąg, którego każdy punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną.

155.    Znaleźć moc zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych, które są zbieżne do zera.

156.    Znaleźć moc zbioru wszystkich funkcji ciągłych z R do R.

157.    Obliczyć moce zbiorów:

•    X = {Tl: A C R i u4 ma element najmniejszy i największy};

•    Y = {A : A C Z i A ma element najmniejszy i największy}.

158.    Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze Z. Znaleźć moc zbioru R.

159.    Które z następujących zbiorów są ze sobą równoliczne:

Q x Z, RxQ, R-Q, 2ⁿ, 2^k, P(RxZ), UmsufN”¹?

160.    Które z następujących zbiorów są równoliczne:

Z, Rⁿ, (f, 1xR, {0,1}', {0,1}^N, P(Q), P(R)?

161.    Relacja równoważności R w zbiorze jest określona następująco:

^R = W, 9) ■ Vn(/(2n) = g(2n))}.

Podać moc zbioru wszystkich klas abstrakcji relacji R, oraz moc każdej klasy.

162.    Znaleźć moc zbioru C — {X € P(R) : X fi Q jest skończone}.

163.    Niech A = 2^C. Udowodnić, że istnieje / : A —* A, taka że zbiór {x € A : x = f(x)} jest mocy C.

164.    Niech A = 2^ff. Udowodnić, że istnieje / : A -—l A, taka że zbiór {x € A : x fi f(x)} jest mocy C.

165.    Niech 7Z będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w zbiorze N. Określamy relację równoważności p w zbiorze IZ warunkiem: ripr2 wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory N/ri i N/r2 są równoliczne. Znaleźć moc N/p, oraz moc [r]_p, gdzie mm zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy 2|mn(n + 1)

166.    Niech r będzie relacją równoważności w zbiorze Q określoną tak: xry wtedy i tylko wtedy gdy x² + y² fi 0 lub xy = 0. Znaleźć moc zbioru Q/r oraz moce klas abstrakcji.

167.    W zbiorze R[a;] wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych określamy relację równoważności r: