8344044636

strona 5

29 września 2008, godzina 17:13

31.    Która z następujących równości zachodzi dla dowolnych zbiorów At,_s, gdzie t G T, s € S:

Uter Flses ⁼ FLes Uter M?    flter FLes ^*,a = FLes Flter

32.    W aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się parę uporządkowaną (a, b) jako zbiór <a,b> = {{o}, {a, 6}}. Jakiego typu jest <a,b>, jeśli a i b są typu VI Udowodnić, że tak zdefiniowane pary spełniają warunek <a,b> — <x,y> wtedy i tylko wtedy, gdy a = x i b = y.

Relacje

33.    Dla jakich relacji r C V x V zachodzą równości r ■ r~^x = r^-1 • r = lp?

34.    Udowodnić, że iloczyn dowolnej rodziny relacji przechodnich jest relacją przechodnią.

35.    Niech IZ będzie taką niepustą rodziną relacji przechodnich w zbiorze A, że dla dowolnych r,s€lZ zachodzi rCs lub sCr. Udowodnić, że s = {JTZ jest relacją przechodnią.

36.    Znaleźć przykład 5-elementowej relacji symetrycznej w zbiorze N. Czy istnieje 5-ele-mentowa relacja zwrotna wN? A 5-elementowa relacja przechodnia?

37.    Czy relacja {(0,3), (1,3), (1,5), (4,5), (4,2)} w zbiorze {0,1,2,3,4,5} jest przechodnia?

38.    Niech r będzie relacją dwuargumentową w zbiorze A. Czy możliwe jest, że:

(a)    r^-1 £ r?

(b)    r • r — r i r jest przeciwzwrotna (tj. Vx € A(->xrx))?

(c)    r~^x — A² —r?

39.    Udowodnić, że relacja r jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy (r; r) C r.

40.    Udowodnić, ze dla dowolnej relacji r C A x A istnieje najmniejsza relacja przechodnia zawierająca r.

41.    Przestrzenią zgodności nazywamy rodzinę zbiorów A, spełniającą warunki:

(a)    Jeśli a € A i a' C a to a¹ G A.

(b)    Jeśli B C A oraz dla dowolnych a,b 6 B zachodzi a\Jb E Ato\jB ę. A.

Niech A będzie przestrzenią zgodności. Udowodnić, że istnieje taka zwrotna i symetryczna relacja r, że dla dowolnego a zachodzi równoważność: a € A wtedy i tylko wtedy, gdy Vxy (x,y € a —> xry).

Funkcje

42.    Funkcja / : P(^4) —* P(^4) jest addytywna, gdy f(X UF) = f(X)\Jf(Y), dla dowolnych zbiorów X, Y CA. Czy każda funkcja addytywna ma własność f(X) = IJeg^

43.    Niech f,g : A —» A. Czy z tego, że dla dowolnego x € A zachodzi f(g(x)) = g(f(x)) wynika, że / i g są wzajemnie odwrotne?