8344044639

strona 8

29 września 2008, godzina 17:13

73.    Niech f : A —> B. Udowodnić, że / jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego C i dowolnych g,h : C —» A zachodzi implikacja fog = foh—>g = h.

74.    Niech / : A —> B. Udowodnić, że / jest na B wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego C i dowolnych g,h : B —* C zachodzi implikacja gof = hof—>g = h.

75.    Niech $ : Coo([0,1]) —> Coo([0,1]) będzie taka, że 4>(/) = /'. Czy $ jest różnowartościowa i na Coo([0,1])? Znaleźć np. przeciwobraz zbioru wielomianów.

76.    Niech r będzie jądrem funkcji /. Pokazać, że r jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy / jest różnowartościowa, i że r jest spójna wtedy i tylko wtedy gdy / jest funkcją stałą.

77.    Udowodnić, że każda (częściowa) relacja równoważności jest jądrem pewnego (częściowego) przekształcenia.

78. Niech P'{N) = P(N) - {0} i niech / : P'(N) x P'{N) -► P(N x N) będzie taka, że f((C, D)) = C x D, dla dowolnych C, D C N. Czy / jest różnowartościowa i czy jest na P(N x N)? Znaleźć /“’ (P(P x P)), gdzie P oznacza zbiór wszystkich liczb parzystych.

79.    Niech / : P(M) —> P(P(M)) będzie taka, że /(A) = P(A), dla ACM. Czy / jest różnowartościowa i czy jest “na”? Znaleźć /^_1(P(P(Q))) oraz /(P(Q)).

80.    Niech I_a = (a, 4 + a), dla a € M i niech / : M —* M, będzie określona przez równanie f(x) = 7^x. Jakimi przedziałami są zbiory:

IU(0,2) /(M    oraz    fU(0,i) /“H-T/w)?

81. Niech / : A —> B i niech F : P(B) —> P(A) będzie określone tak: F(X) = /^-1(X). Pokazać, że funkcja / jest różnowartościowa (na) wtedy i tylko wtedy gdy F jest na (różnowartościowa).

82. Niech ip : B —> C $ : A^c —> A^B będzie taka, że $(/) = f o tp dla wszystkich /. Zakładając, że A ma co najmniej dwa elementy, pokazać, że

(a)    $ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy p jest „na”;

(b)    $ jest „na” wtedy i tylko wtedy, gdy (p jest różnowartościowa.

83. Dla a € N określamy a* : (N —> N) —» N wzorem a* = A/./(a). Czy funkcja Aa:N. a* jest różnowartościowa i czy jest na (N —> N) —► N?

84.    Funkcja F : (N —> P(N)) —* P(N) jest określona warunkiem F(x) = (J{a:(ż) | i € N}.

(a)    Czy F jest funkcją różnowartościową?

(b)    Czy F jest na P(N)?

(c) Czy istnieje taki zbiór A C N, że F^-1({A}) jest zbiorem jednoelementowym?

(d) Czy istnieje taki zbiór A C N, że F^-1 ({A}) jest zbiorem czteroelementowym?

85.    Zbiór T C P(N) x N jest dobry, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a,x:

• Jeśli (a, x) G T i (b, x) € T, oraz a C b to a = b.