8344044638

strona 7

29 września 2008, godzina 17:13

(d) V£ ę N3f e N^N(/^-1(B) ^ 0 -+ £ = N)

59.    Udowodnić, że rodzina {Aj | t € M} C P(1R) spełnia warunki

flteR ^At = 0, U«gr ^At = Vt e K( A = U_s<t A,) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja / : M —> IR, że At = {x € IR | f(x) < t} dla wszystkich t € R.

60.    Które z poniższych stwierdzeń są równoważne dla każdej funkcji /:

(a)    / jest różnowartościowa;

(b)    dla każdego x € Dom(/), zbiór f({x}) jest jednoelementowy;

(c)    dla każdego x € Rg(/), zbiór    jest jednoelementowy?

61.    Niech / : T —» T będzie bijekcją. Czy zawsze zachodzą równości

UteT ^At ⁼ UteT ^Af(t) i WteT ^At ⁼ X\teT ^Af(t)^f-

62.    Krakowskim produktem rodziny zbiorów IZ C P (V) nazywamy zbiór

KK = {f:1l — I VA(A e IZ -» f(A) € A)}.

Jeśli IZ = {A, B} to zamiast K7?. piszemy A©B. Przypuśćmy, że zbiór A ma n elementów. Ile elementów mają zbiory A©A, A©(A©A), (A©7l)©(^4©7l), yl©(i4©(^4©7l))?

63.    Pokazać, że jeśli / : V -—^ £ oraz AC. £ to przeciwobraz A przy przekształceniu / jest tym samym, co obraz A przy przekształceniu / .

64. Skonstruować bijekcję / : Dx(£(BH)    i ('Dx£)®(Vx'H) i włożenie g : D®{£x'H) —+ (V®£)x (V®H).

65.    Niech f : T> —> £ i g : £ —> T) będą takie, że go f = idp. Pokazać, że / jest różnowartościowa, a g jest na D. Co można powiedzieć o funkcjach fig jeśli g o / = idu oraz / o g = id_£?

66.    Jakiego typu jest produkt fJ_{/ 7}- At, jeśli At : P(X>) dla t: T?

67.    Niech f :T —► T. Udowodnić, że / o / = / wtedy i tylko wtedy gdy f\n_g[f) — idjt_gif\.

68.    Niech / : T —> T i niech g — /|r₉(/). Udowodnić, że /³ = / wtedy i tylko wtedy, gdy

s² =

69.    Niech n > 1. Udowodnić, ze funkcja / : A —> A jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy fⁿ jest różnowartościowa.

70.    Niech A będzie zbiorem skończonym i niech / : A —> A. Pokazać, że fⁿ o fⁿ = dla pewnego n.

71.    Niech / : A —* A i niech fⁿ = f dla pewnego n > 1. Udowodnić, że /(Rg(/)) = Rg(/).

72.    Niech f : T —* T i niech f^k = f dla pewnego k > 2. Pokazać, że Rg(f^m) = Rg{f) dla wszystkich m > 2.