8344044624

strona 12

29 września 2008, godzina 17:13

115.    Niech r i s będą takimi relacjami równoważności w zbiorze A, że ich suma r U s też jest relacją równoważności. Pokazać, że dla dowolnego x € A:

Mrus = U{[!/1. ^: V e Ml-}'

116.    Udowodnić, że jeśli n, są relacjami równoważności w A to

(n; r*2) = A x A <*=>• (r2; ri) = ^4 x A

117.    Niech r będzie relacją w zbiorze Q liczb wymiernych, określoną tak: xry wtedy i tylko wtedy gdy x = y ■ t², dla pewnej wymiernej liczby t 7^ 0. Udowodnić, że to jest relacja równoważności, i że ma nieskończenie wiele klas abstrakcji.

118.    Ustalmy k € N — {0}. Określamy relacje r*,, r C Z x Z w następujący sposób:

(x, y) € r/- wtedy i tylko wtedy, gdy x i y są parzyste i x — y jest podzielne przez k; (x, y) € r wtedy i tylko wtedy, gdy x i y są nieparzyste oraz x ■ y > 0.

(a)    Udowodnić, że relacja pk = rk U r jest relacją równoważności.

(b)    Czy istnieje takie x G Z, że [x]_Pfc ma dokładnie k elementów?

(c)    Ile elementów ma zbiór ilorazowy Z/_Pfc, gdy:

i.    Jfc = 4?

ii.    k = 3?

119.    Niech <p : R^r —> P(R) będzie określona następująco: 4>(f) = /^_1(IQ), gdzie IQ = R-Q.

(a)    Czy r = {(f,g) | Q C n 4>(g)} jest relacją równoważności w R^r?

(b)    Czy s — {(/, g) \ </>(/) x 4>{g) jest relacją równoważności w R} jest relacją równoważności w R^k?

120. Niech <I> : (N —> N) —> (P(N) -» P(N)) będzie taka, że

Hf)(A) = f~\f(A)), dla wszystkich / : N —» N i A C N.ls ma

(a)    Czy funkcja $ jest różnowartościowa?

(b)    Czy funkcja $ jest na zbiór P(N) —> P(N)?

(c)    Znaleźć przeciwobraz $^_1({idp(^)}), gdzie idp(pj) to funkcja identycznościowa z P(N) do P(N).

(d)    Udowodnić, że dla dowolnego / : N —» N istnieje taka relacja równoważności r C N x N, że dla wszystkich 4CN zachodzi

®(/)(^) = IKMr \aeA).

121.    Załóżmy, że relacja rCPxD jest zwrotna. Niech

r~ = {(x,y) \ T> x V \ Vz(xrz<-*yrzAzrx*->zry)}.

Pokazać, że r~ jest relacją równoważności oraz r~ C r. Udowodnić, że r = r~ wtedy i tylko wtedy, gdy r jest przechodnia.

122.    Relacja równoważności r w N —► N jest określona następująco: (/, g) € r zachodzi, gdy

istnieje taka bijekcja 7r : N -—^ N, że / = g o tt. Udowodnić, że (/, g) G r wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ICN przeciwobrazy g~^l (X) i    są równoliczne.