8344044631

strona 19

29 września 2008, godzina 17:13

210.    Czy zbiory {01ⁿ : n € N} i {0ⁿl : n G N} mają kresy górne (dolne) w zbiorze {0,1}* uporządkowanym leksykograficznie?

211.    Ile jest relacji równoważności w N, które są jednocześnie częściowymi porządkami?

212.    Podaj przykłady:

•    Zupełnego porządku częściowego, który nie jest kratą zupełną;

•    Przekształcenia monotonicznego w kracie zupełnej, które nie jest ciągłe;

213.    Podaj przykład takiego przekształcenia monotonicznego / w kracie (P(N), C), że kres górny zbioru {/ⁿ(0) : n G N} nie jest najmniejszym punktem stałym /. Czy można tak wybrać /, aby najmniejszy punkt stały nie istniał?

214.    Podać przykład kraty, która ma element największy i najmniejszy, ale nie jest zupełna.

215.    Udowodnić, że w kracie zupełnej każdy podzbiór ma kres dolny.

216.    Rozpatrzmy funkcję / : P(N x N) —* P(N x N) określoną tak:

f(s) = s-s,

gdzie kropka oznacza składanie relacji. Udowodnić, że funkcja / jest ciągła ze względu na uporządkowanie przez inkluzję, tj. że /((JX) = U/('*•’)> dla dowolnej skierowanej rodziny relacji X C P(N x N).

217.    Funkcja / : P(^4) —► P(ył) jest ciągła. Powiemy, że zbiór x C A jest dobry, gdy f{x) C x. Udowodnić, że iloczyn dowolnej rodziny zbiorów dobrych jest dobry i że suma dowolnej skierowanej rodziny zbiorów dobrych jest dobra.

218.    Niech / będzie ciągłym przekształceniem kraty zupełnej (K, </<-) w kratę zupełną (L, <l)-Czy / jest ciągłym przekształceniem z (K,>k) do (L, >/,)? (Inaczej, czy zachowuje kresy dolne zbiorów „skierowanych w dół”?)

219.    Niech r będzie relacją częściowego porządku w zbiorze A. Udowodnić, że jeśli r U r^-1 jest relacją równoważności, to każdy skierowany podzbiór zbioru A jest łańcuchem.

220.    Niech A będzie zupełnym częściowym porządkiem i niech / : A —> A będzie ciągła.

(a)    Jeśli a < f(a) to istnieje taki punkt stały b funkcji /, że a < b.

(b)    Czy jeśli a > f(a) to istnieje taki punkt stały b funkcji /, że a > b!

221.    Udowodnić, że zbiór częściowo uporządkowany jest kratą zupełną wtedy i tylko wtedy gdy jest jednocześnie kratą i zupełnym porządkiem częściowym.

222.    Udowodnić, że każdy skończony porządek częściowy jest równoliczny z pewnym podzbiorem N uporządkowanym przez relację podzielności.

223.    Udowodnić, że w zbiorze N^fc, uporządkowanym „po współrzędnych”, wszystkie antyłań-cuchy są skończone.

224.    Niech F : P(5 x S) —» P(S x S) będzie funkcją monotoniczną o takich własnościach:

• ids ę ^(ids);