8344044633

strona 20

29 września 2008, godzina 17:13

• F(r) • F(r') C F(r ■ r'), dla wszystkich r, r'\

• F(r)^-1 C F(r~^l), dla wszystkich r.

Udowodnić, że największy punkt stały funkcji F jest relacją równoważności.

225. Niech {A, <) będzie zupełnym porządkiem częściowym, a / : A —* A niech będzie funkcją ciągłą. Zbadać prawdziwość następujących stwierdzeń:

(a) Jeśli a jest najmniejszym punktem stałym funkcji / to o = inf{x € A \ f(x) < x}.

(b) Jeśli a jest największym punktem stałym funkcji / to a = sup{a; € A | f(x) > x}.

226. Które z następujących stwierdzeń jest prawdziwe dla dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego (X, <) i dowolnych ABC X?

(a) Jeśli w X istnieją sup A i sup B to istnieje sup(^4 U B).

(b) Jeśli w X istnieje sup(.A U B) to istnieją sup A i sup B.

227. Niech {A, <) będzie częściowym porządkiem i niech f : A —> A. Załóżmy, że dla każdego łańcucha L w (A, <) istnieją kresy dolne¹ zbiorów L i f(L), a jeśli L ^ 0, to na dodatek /(inf L) — inf(/(L)). Udowodnić, że / ma największy punkt stały.

228. Udowodnić, że funkcja / : P(N) —* P(N) jest ciągła (ze względu na inkluzję) wtedy i tylko wtedy, gdy

/(a) = U(/(e) | e skończony oraz e C o}, dla dowolnego a e P(N).

Lemat Kuratowskiego-Zorna

229. W przestrzeni Mⁿ, której elementami są n-tki liczb rzeczywistych określamy odległość p(x, y) pomiędzy krotkami x — (x\,...,x_n) i y — (yi,..., y_n) wzorem

p{x, y) = \/{xi-yi)² -\-----h (x_n — y_n)²

Podzbiór X C Rⁿ nazwiemy rzadkim wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych różnych punktów x,y € X zachodzi p(x,y) > 1. Podzbiór Y nazwiemy wszędobylskim, gdy dla dowolnego z £ Y istnieje takie x € Y, że p(z, x) < 1. Udowodnić, że suma łańcucha zbiorów rzadkich jest zbiorem rzadkim. Czy istnieje rzadki zbiór wszędobylski w przestrzeni R³ ? Czy istnieje taki zbiór w przestrzeni R²⁰⁰⁸ ?

230. Udowodnić, że w każdym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje maksymalny (ze względu na inkluzję) podzbiór skierowany.

231. Udowodnić, że w każdym zbiorze częściowo uporządkowanym jest maksymalny łańcuch.

Uwaga: Założenia o kresach dolnych dotyczą tylko łańcuchów.