8344044626

strona 14

29 września 2008, godzina 17:13

135.    Niech V będzie zbiorem wszystkich prostokątów na płaszczyźnie i niech r będzie relacją podobieństwa prostokątów (jest to relacja równoważności w zbiorze V). Znaleźć moc zbioru ilorazowego V jr. Jakiej mocy są klasy abstrakcji relacji r?

136.    Niech / : R³ —» R. Udowodnić, że dla pewnego x € R zbiór f~^l({x}) nie zawiera żadnej kuli.

137.    Udowodnić, że zbiór A jest nieskończony wtedy i tylko wtedy gdy

V/ £ A^A 3B £ P(A) ((B # 0) A (B # A) A (f(B) ę B)).

138.    Znaleźć moc zbioru wszystkich relacji symetrycznych w zbiorze Z wszystkich liczb całkowitych.

139.    Udowodnić, że jeśli A jest dowolnym zbiorem parami rozłącznych otwartych przedziałów na prostej, to A < Ko-

140.    Udowodnić, że zbiór punktów nieciągłości funkcji rosnącej zKdoI jest co najwyżej przeliczalny.

141.    Czy zbiór ekstremów lokalnych funkcji ciągłej z R do R może być nieprzeliczalny?

142.    Czy zbiór zer funkcji ciągłej z R do R może być nieprzeliczalny?

143.    Znaleźć moce zbiorów ilorazowych i moce klas abstrakcji relacji równoważności rozważanych w zadaniach 96-98.

144.    Jakiej mocy jest zbiór klas abstrakcji relacji r określonej w zadaniu 122?

145. * Niech r będzie relacją z zadania 122. Znaleźć wszystkie liczby kardynalne m, dla których

istnieje klasa abstrakcji relacji r o mocy m.

146.    Czy istnieje taka funkcja / : R² —> R, że dla każdego igR zbiór /^_1({z}) jest:

(a) odcinkiem? (b) kwadratem?

147.    Niech relacja równoważności r C R² będzie taka, że:

Vz e R > 0 ((x — e, x + e) C [x]_r).

Co można powiedzieć o mocy zbioru R/r?

148.    Niech A C R będzie taki, że:

Vx € A 3e > 0 (A fi (a; — s, x + e) = {z}).

Co można powiedzieć o mocy zbioru A?

149.    Czy istnieje taka relacja równoważności r w zbiorze R, której każda klasa abstrakcji jest mocy Hę, oraz

(a) Rfi = a    (b) r7t = K₀?

150.    Czy istnieje taka relacja równoważności r w zbiorze R, której każda klasa abstrakcji jest mocy continuum, oraz R/r jest zbiorem (a) przeliczalnym? (b) nieprzeliczalnym?