8344044623

strona 11

29 września 2008, godzina 17:13

105.    Czy iloczyn dwóch relacji równoważności musi (może) być pusty?

106.    Niech rodzina T C P(N) spełnia warunki:

(a)    T ± 0 oraz T ± P(N);

(b)    dla każdych X,Y £ T zachodzi X fi Y £ T\

(c)    dla każdego X £ T i każdego Y D X zachodzi Y £ T.

Udowodnić, że relacja r C P(N) x P(N) taka, że

arb = 3f e T(aD f — b<l f) jest relacją równoważności. Znaleźć klasę abstrakcji [N]_r.

107.    Niech / : A —* B, gdzie A, B są niepustymi zbiorami i niech r będzie relacją równoważności w zbiorze B. Określamy relację równoważności s w zbiorze A warunkiem:

a s b wtedy i tylko wtedy gdy f(a) r f(b)

Czy zawsze zachodzą inkluzje:    (a) /([a]_s) C [/(a)]_r;    (b) [/(a)]_r C /([a]_s)?

108.    Niech / : A —> B i niech r będzie relacją równoważności w zbiorze A. Określamy relację s w zbiorze B warunkiem:

a s b wtedy i tylko wtedy gdy 3x, y £ A (f(x) = a A f(y) = b A (x, y) € r). Jaka musi być funkcja /, aby s była relacją równoważności w B?

109.    Niech / : A —» A. Czy relacja r = {(a, b) £ A x A \ 3m,n € N(/^m(a) = /”(&))} jest relacją równoważności w Al

110.    Niech IZ będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w N i niech / : IZ —► P(N) będzie taka, że f(r) — [l]_r, dla dowolnego r £ IZ. Znaleźć Urenf(^r) * rire7e/(^r)-

111.    Niech IZ będzie jak w zadaniu 110 i niech f : IZ —> P(P(N)) będzie taka, że f(r) = [N]_r, dla dowolnego r £ IZ. Znaleźć U_reft /(^r) ¹ Hreft /(^r)- Czy / jest różnowartościowa, czy jest “na”? Znaleźć f{lZ) oraz f-'({Z C P(N) : I = 1}) i /-'({{Z £ P(N) : f = 1}}).

112.    Niech IZ będzie jak w zadaniu 110 i niech f :1Z —> P(N) będzie taka, że /(r) = [0]_rfl[l]_r. Zbadać, czy / jest różnowartościowa, znaleźć f(lZ) i przeciwobraz zbioru P(N) — {0}.

113.    Niech Z C N. Określamy relację Rz C P(N) x P(N) następująco:

(X, Y) £ Rz wtedy i tylko wtedy, gdy X U Z = Y U Z.

Niech IZ będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w P(N). Funkcja / : P(N) —> IZ jest określona warunkiem f(Z) = Rz-

(a)    Czy funkcja / jest różnowartościowa?

(b)    Czy funkcja / jest na 1Z1

(c)    Znajdź /-‘({idpp,,}) i /-'({P(N)²}).

114.    Niech r C P(N) x P(N) będzie taką relacją równoważności, że X rY wtedy i tylko wtedy gdy istnieje skończony zbiór Z o własności X U Z — Y U Z. Sprawdzić, że r jest relacją równoważności. Znaleźć [0]_r.