strona 11
29 września 2008, godzina 17:13
105. Czy iloczyn dwóch relacji równoważności musi (może) być pusty?
106. Niech rodzina T C P(N) spełnia warunki:
(a) T ± 0 oraz T ± P(N);
(b) dla każdych X,Y £ T zachodzi X fi Y £ T\
(c) dla każdego X £ T i każdego Y D X zachodzi Y £ T.
Udowodnić, że relacja r C P(N) x P(N) taka, że
arb = 3f e T(aD f — b<l f) jest relacją równoważności. Znaleźć klasę abstrakcji [N]r.
107. Niech / : A —* B, gdzie A, B są niepustymi zbiorami i niech r będzie relacją równoważności w zbiorze B. Określamy relację równoważności s w zbiorze A warunkiem:
a s b wtedy i tylko wtedy gdy f(a) r f(b)
Czy zawsze zachodzą inkluzje: (a) /([a]s) C [/(a)]r; (b) [/(a)]r C /([a]s)?
108. Niech / : A —> B i niech r będzie relacją równoważności w zbiorze A. Określamy relację s w zbiorze B warunkiem:
a s b wtedy i tylko wtedy gdy 3x, y £ A (f(x) = a A f(y) = b A (x, y) € r). Jaka musi być funkcja /, aby s była relacją równoważności w B?
109. Niech / : A —» A. Czy relacja r = {(a, b) £ A x A \ 3m,n € N(/m(a) = /”(&))} jest relacją równoważności w Al
110. Niech IZ będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w N i niech / : IZ —► P(N) będzie taka, że f(r) — [l]r, dla dowolnego r £ IZ. Znaleźć Urenf(r) * rire7e/(r)-
111. Niech IZ będzie jak w zadaniu 110 i niech f : IZ —> P(P(N)) będzie taka, że f(r) = [N]r, dla dowolnego r £ IZ. Znaleźć Ureft /(r) 1 Hreft /(r)- Czy / jest różnowartościowa, czy jest “na”? Znaleźć f{lZ) oraz f-'({Z C P(N) : I = 1}) i /-'({{Z £ P(N) : f = 1}}).
112. Niech IZ będzie jak w zadaniu 110 i niech f :1Z —> P(N) będzie taka, że /(r) = [0]rfl[l]r. Zbadać, czy / jest różnowartościowa, znaleźć f(lZ) i przeciwobraz zbioru P(N) — {0}.
113. Niech Z C N. Określamy relację Rz C P(N) x P(N) następująco:
(X, Y) £ Rz wtedy i tylko wtedy, gdy X U Z = Y U Z.
Niech IZ będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w P(N). Funkcja / : P(N) —> IZ jest określona warunkiem f(Z) = Rz-
(a) Czy funkcja / jest różnowartościowa?
(b) Czy funkcja / jest na 1Z1
(c) Znajdź /-‘({idpp,,}) i /-'({P(N)2}).
114. Niech r C P(N) x P(N) będzie taką relacją równoważności, że X rY wtedy i tylko wtedy gdy istnieje skończony zbiór Z o własności X U Z — Y U Z. Sprawdzić, że r jest relacją równoważności. Znaleźć [0]r.