382 2

382

8. Równania różniczkowe

Przykład 8.6.3. Niech będzie

J ii(x)ff(x)rfx. «(0)=t»(0)x=u(|) = c(i)=o.

o

Wtedy operator A=-d²fdx² jest symetryczny i dodatnio określony. Istotnie, mamv równość

(Au. t?)- - f «"(-K)o(Jc)dx*[~u'(.x)p(x)]o+ J u’(x)v(x)dx

o    o

Ze względu na warunki brzegowe jest

i

(Au, p)«= j uXkW(x)dx.

Obliczenie (u, Av) daje ten sam wynik. Oczywiście jest (Au, u)>0, chyba że t/(x)=0 dla każdego ale jeśli u(0) = 0 i «’(at)=0 (V*), to u(x)-0 (V*).

Ten sam wynik jest prawdziwy' dla A=-F² i mamy użyteczną tożsamość

(8.6.17)    (-r²u,v)=(ru.rv).

Ogólniej,

(8.6.18)    (-dW(pFu), v)=(pFu, Fe).

Jeśli operator A jest dodatnio określony, to można zdefiniować nowy iloczyn skalamy <•, •> i nową normę:

(8.6.19)    (u, t>>=(u, Av)_; ||u||²»<u, w>

(łatwo sprawdzić spełnienie warunków' z § 4.2.2).

Twierdzenie 8.6.1. Załóżmy, że operator A jest dodatnio określony. Niech u* będzie rozwiązaniem zagadnienia Au* -f. Bu* =0. Wtedy metoda Galerkina daje najlepsze w sensie normy <*, •> przybliżenie funkcji u* w H„.

Dowód. Na mocy twierdzenia 4.2.5 rozwiązanie tego zadania o minimalizacji jest dane za pomocą warunku <t>, u-u*) = 0 (Vo e HJ. Jednak <p, u—u*)=(v, Au—Au*)¹* =(t,Au—f) i warunek Galerkina przybiera postać (e, Au—f)=0 (Vue i/J.

Jako ćwiczenie czytelnik może sprawdzić, że

(u, Au)-2(f, ti)»<u-u*, u-u*>-<u*. «*> .

Wynika stąd, że funkcja u-u* minimalizuje funkcjonał podany po lewej stronie w zbiorze, wszystkich funkcji u, dla których ten funkcjonał jest określony. Wynika stąd również- l^c ten funkcjonał minimalizuje się w H„ metodą Galerkina.

W wielu dziedzinach fizyki istnieją zasady wariacyjne. Oznacza to zwykle tyle* ® zagadnienia z takiej dziedziny można wyrazić jako zagadnienia minimalizacji pewnej całki z energii lub jakiegoś innego funkcjonału. Przybliżone rozwiązywanie takich