3754969711

16

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2.3.1    Równania różniczkowe geodezyjnych

Niech [gij] oznacza macierz pierwszej formy kwadratowej. Przez [g**] będziemy oznaczać macierz odwrotną do [gij].

Definicja 2.3.5 (symbole Christoffela). W ponieższych wzorach i,j,k,s = 1,2.

1.    Symbole Christoffela pierwszego rodzaju F kij = ^

2.    Symbole Christoffela drugiego rodzaju: Ty = \ g^ksŁ_jis.

Uwaga 2.3.6. T* = I*.

Twierdzenie 2.3.7. Niech r: U —> M będzie lokalną parametryzacją (lokalną mapą), niech c będzie krzywą leżącą w r(U) i niech r^_1(c(t)) =    a^CO)- Następu

jące warunki są równoważne:

(i)    c jest geodezyjną sparametryzowaną łukowo,

(ii)    c jest rozwiązaniem następującego układu równań różniczkowych:

<?^xk , _rfc dj^dzi ₌ n dt²    ^ ^ij dt dt

dla k = 1,2.

2.4 Krzywizna powierzchni

2.4.1    Krywizna Gaussa

Definicja 2.4.1 (odwzorowanie sferyczne). Odwzorowaniem sferycznym nazywamy ciągłe przekształcenie n: M —> S², które każdemu punktowi powierzchni M C R³ przyporządkowuje wektor normalny do M.

Jeśli dla danej powierzchni M istnieje odwzorowanie sferyczne n, to mówimy, że powierzchnia M jest zorientowana.

Definicja 2.4.2. Niech c: I —> M dowolna krzywa, p E M. Definiujemy odwzorowanie dn_p: T_pM —> T_n(_p)S² wzorem dn_p(c'(p)) = (n o c)'(p).

Uwaga 2.4.3. Odwzorowanie dn_p jest liniowe.

Definicja 2.4.4 (krzywizna powierzchni). Niech M powierzchnia, p € M. Niech {-4fc}fc^u będzie ciągiem otoczeń punktu p, których średnice dążą do zera. Liczbę:

,_ , .    .,    , , polen(4t)

K_u(p) = sgn(det dn_p) hin ^y _le^—

nazywamy krzywizną powierzchni M (krzywizną Gaussa) w punkcie p.