22972

WMS II/III

ILI zestaw zadań z równań różniczkowy di

T..) Niech 'Pi,<P2,<r^>3 oznaczają różne rozwiązania (RLN) £ 4- p{t)x = q(t), gdzie C[a,3]. Pokajać, że

<p{t) =

v?i(0

- <ps(0

jest funkcją stałą dla t. G /*, /?]. Podać interpretację geometryczną tego faktu.

Uzasadnić, że (HU) £ — p[t)x — 0 ma rozwiązanie niet.rywńalne spełniające warunek x(a) = x(3) wtedy i tylko wtedy, gdy f£p(l) Ul — 0 Podać przykład ilustrujący powyższy fakt.

(ŚJ Czy istnieje rozwiązanie problemu początkowego

dla x < dla x > Xo

na orzcdziale [fo — 5, to + 5]?

/US Niech / eC(<7,R). Uzasadnić następującą implikację:

3r.>«V(i.*)_€r7    x)| < L -4- / spełnia warunek Lipsdiitza ze wzgl. na x

(r2 Dla jakiego a > 0, problem początkowy

fi' = (1 - X₀)“ \ x{to) = Xo

ma^onaj mniej 2 rozwiązania określone na przedziale [to.fo + ó]?

(§) Niech '■p.iż ■ [to. to + ó\ *-» R. oznaczają 2 rozwiązania problemu początkowego

£    = f(t,x)

l(t₀) = x₀

£ — x⁷ +1

£^f = x² + t

gdzie / jest funkcją ciągłą taką, że V_t r

*i>'o V>(*) = V»(<)-

(7^Czy istnieje rozwiązanie równania

f{t,x) jest nierosnąca. Pokazać, że

spełniające warunki x(0) — l,a/(0) = 2?

8. Zastosować metodę kolejnych przybliżeń do rozwiązania następującego problemu początkowego

(3) £ = t² - x², x(0) = 0 (b) £ = x² I t, x(0) — 1

/