2567802541

2.2. Równania rożniczkowo-całkowe.

Niech

B = {xEE: ||x|| < ||x₀|| +b,b > 0}, B = {x E (C(;_a,£),m): x(0) = x„, ||x|| < ||*₀||+t,ł > Oj W pracy (15) wspólnej z R. Agarwalem i D. 0’Reganem udowodniliśmy twierdzenie egzystencjalne dla ogólnego zagadnienia różniczkowo-całkowego postaci:

(2 3)    *'(& = f(t,z(f),S‘k(t,s,x(.sy)ds), tel_a, aeR„ x₀eE.

x(0) = x₀,

gdzie f,k,x są funkcjami o wartościach w przestrzeni Banacha E oraz całka jest całką Henstocka-Kurzweila-Pettisa.

Wyniki przedstawione w tej pracy pochłaniają wcześniejsze wyniki zawarte m.in. w pracach: [8, 10-12, 36, 40,44, 46, 86, 87, 114,115] dotyczące zagadnień różniczkowych i całkowych.

Poniżej podaję definicję całki Henstocka-Kurzweila-Pettisa (HKP) wprowadzoną w pracy (6), którą będę wykorzystywać w dalszej części autoreferatu.

Definicja 2.9. (6) Funkcja f:I_a-*E jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila-Pettisa (HKP całkowalna), jeśli istnieje funkcja g:l_a -* E taka, że:

(i)    Vx* 6 E" x*f jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na I_a oraz

(ii)    Vt E l_a Vx‘EE- z-(fl(t)) = (H/O/_oV(/0r))<fc.

Funkcja g jest nazywana całkq Henstocka-Kurzweila-Pettisa z funkcji f na przedziale I_a.

Rozważmy problem istnienia rozwiązania zagadnienia (2.3) w przestrzeni (C(f_a,E),id) funkcji ciągłych ze słabą topologią jednostajnej zbieżności. Dzięki zastosowaniu własności całki Henstocka-Kurzweila-Pettisa do rozpatrywanego zagadnienia, uzyskaliśmy pierwszy wynik mówiący o istnieniu pseudo-rozwiązania zagadnienia (2.3) dla najszerszej rozpatrywanej do tej pory klasy funkcji. Pokazaliśmy ponadto, że zbiór wszystkich pseudo-rozwiązań zagadnienia (2.3) jest zwarty i spójny w przestrzeni (C(/_d,E),6j), dla 0 < d < a.

Niech

F(x)(0 = x₀ + J₀^£/(z,x(z), J_Q^Zk(z,s,x(s))ds)dz, t 6 I_a,

K = (F(x):x e B}, K_x = {/₀^z/c(z,s,x(s))ds: z e [0,t],t E [0,a],x E B).

Definicja 2.10. Niech F:[a,b] -» E oraz A a [a, b]. Funkcję f: A -* E nazywamy pseudo - pochodną funkcji F, jeżeli dla każdego funkcjonału x* 6 E* rzeczywista funkcja x*F jest różniczkowalna prawie wszędzie na A.

Definicja 2.11. Funkcję x:I_a -* E nazywamy pseudo-rozwiązaniem zagadnienia (2.3) jeżeli

(i)    x(-) jest funkcją ACG„

(ii)    x(0) = x₀,

13