270 2

270

7. Różnice skończone w całkowania i różniczkowaniu

jest ograniczona. Dla x=x₀ mamy /₀=c₀. Niech będzie

_rr -j f(x)-f(x₀)

/[*o»*]=--

x-x₀

(7.3.6)

Stąd

flxQ>x]^sac_t+Ci{x~x_i)+...+c_m(x-x_i)...(x-x_m„_l)+A(x)(x-x_l)...(x~xj

Określimy teraz rekurencyjnie ilorazy różnicowe:

(7.3.7)    /O₀, x,,.... X*.,, x„

x-x_u

Dla fc=l wynika stąd, że

/Oo, xX, x] = c_z+cjx-X₂)+. . + c_w(x-x₂)...(x-x»,.x) + A(x)(x-x₂)...(X-x_M)j redukcyjnie można udowodnić, że

(7.3.8)    Cł*/[x₀, x_lf    xj (k^m).

Dla k=m otrzymujemy następujący ważny wynik:

Twierdzenie 7.3.2.

/l*o. x_lt ...,x_m,x]=A(x)-'

gdzie feint(x₀,Aj.    x).

/^(w+,to

(m+J)!

Powyższe wyniki streszczamy w następującym twierdzeniu:

Twierdzenie 7.3.3, Wzór interpolacyjny Newtona. Zadanie interpolacyjne określone warunkami (7.3.1) ma rozwiązanie.

2W=/o+ £ /C*o.    .....Xj2(x-x₀)(x-x_i)...(x~x_J-ó

y-i

z resztą

f(x)-Q(x)=f[x₀,x_lt ..._yx_m,x](x-x₀)(x-xj)...(x-xj=

X_a,x)’

•M

(x-x₀)(x-x_l)...(x-xj, gdzie ćeint(x₀’

(/w-f-1)!

Twierdzenie 7.3.4. Iloraz różnicowy f[x_Q,x₁,.... x„) jest funkcją symetryczną w argumentów (dla dowolnego naturalnego m).

Dowód. Z (7.3.8) wynika, że f[x_Q, x_t,..., x_m] jest równe c_M. Jest to jednak współ czynnik wiodący wielomianu, który' stanowi jedyne rozwiązanie zadania interpolacyjS^| (7.3.1). W tym zadaniu nie zakłada się nic o ponumerowaniu węzłów, tj. nie mus23 °^nC być uporządkowane rosnąco lub w jakikolwiek inny sposób. Zadanie interpolacji zależy od tego, jak ponumerowano węzły, a wobec tego c„ jest ich funkcją symetryc*®*'