260 2

260

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

^?.U).

gdzie reszta jest zerem dla wszystkich wielomianów trzeciego stopnia (zob. przykład Stąd

\f (*) dx=2hf₀ -f $&(/_ j — 2/₀ +/_t) + 0 (Jł⁵)=(/_ j + 4/₀ +J,) + o ₍fcS) ^ Dlatego szukany wzór ma postać

i

<7.2.4)    f /W^=ł*(/,-,+4/.+/.*d + 0(/.⁵).

i

gdzie reszta jest zerem dla wszystkich wielomianów trzeciego stopnia. Jest to wzór Simpsona jeden z klasycznych wzorów całkowania numerycznego.

Tak samo jak w przykładzie 7.2.1, określamy najpierw R_T dla f(x)=x* (n~0, x_a=o)-

\h(k* +0+fr⁴)- Jx\fc-§A⁵-§fc⁵-jjA^s,

skąd ogólnie wirnika, źe

«7=r₃-Vi h7ⁱ⁴’(*,)+o<fc⁶)=_i/₆AV'*>(x,)+o<fc‘).

To J?_r jest oszacowaniem asymptotycznym błędu. Można udowodnić (zob. Fróberg (7}, str. 200) następujące ścisłe oszacowanie błędu:

(7.2.5)    «r=5Tó*^S/^l4te. gdzie {e[v, •

Stosując w praktyce wzór Simpsona do obliczania

ff(x)dx_r

a

dzieli się przedział [a, 6] na 2m części o długości h za pomocą punktów x_i--=*o + przy czym a=x_0i b=x_Zat. Wzór Simpsona stosuje się do każdego z m podwójnych przedziałów', tzn. dla /i = 2/+1 (:=0, l,..., m — 1). (Ostateczne wyrażenie podano w zadaniu 1 na końcu § 7.2). Reszta jest więc równa (dla 2m = (b—a)fh)

(7.2.6)    Rj = "£ ^A⁵/^<4to=^A⁵m/⁽⁴⁾(ę)=

=_TC(6-o)Ay⁴⁾({), gdzie £ s [o, <>].

Tak więc błąd globalny (czyli błąd na całym przedziale) wzoru Simpsona jest rzędu 0( natomiast błąd lokalny (7.2.5) jest rzędu 0(h^s).

Wzory można też wyprowadzić metodą współczynników' nieoznaczonych. Trzy V f(x)= 1, x, X² wystarczą do określenia trzech współczynników' a, b, c. Okazuje się je ’ że wzór jest prawdziwy także dla / (x)=x³; dlatego szacując błąd trzeba posłużyć się f(x)—x⁴. Ogólnie mówiąc, można oczekiwać podobnych sytuacji w zadaniach o peww

symetrii.

_{r +/ł}A.

Przykład 7.2.3. Znamy wartości funkcji w punktach równoodległych ^x*^^Xo ^_sr-Przypuśćmy, że dla pewnego n jest    i/»</*+!• Chcemy określić przybliżona

tość punktu minimum 5 i minimalnej wartości funkcji/w [x„_ ,, x„+tJ.