298 2

298

7. Różnice skończone w całkowaniu ! różniczkowaniu

<• okresie 2k, tzn. dla funkcji

z    (i — jednostka urojona).

it= -w

(b)    Wykazać, żc jeśli funkcję /(/) można przybliżyć dla rs(0, 2r) wielomianem try gonomctrycznym stopnia n z błędem o module mniejszym od r.to błąd wzoru traperów zastosowanego do całki

i f^!UUi 9 0 0

dla A=2jc/(/i -f 1) jest mniejszy- niż 2e.

(c)    Wykorzystując ten wynik, uzasadnić niezwykle dokładny rezultat zadania 3 dla

A=łn.

Wskazówka. Na podstawie twierdzenia 4.5.1 wyznaczyć dokładność aproksymacji funkcji 0(*)=exp(2'^l,,,x) za pomocą wielomianu algebraicznego siódmego stopnia dla

*«M. n

7. Udowodnić, że wzór

f f(x)dx[5/(v'0.6) + 8/(0) + 5/ (- V0.6) 1

jest dokładny dla wielomianów piątego stopnia i zastosować go do obliczenia całki

i

I

sin*

-dx.

I +■ x

8. (a) Znaleźć dwupunktowy w*ór całkowania dla całek postaci

i

j /(*>{! +x¹)dx,

dokładny, jeśli f(x) jest wielomianem trzeciego stopnia.

W^rskazówka. Posłużyć się wynikiem zadania 2 z § 4.4 lub metodą współczynnik * nieoznaczonych.

(b) Zastosować otrzymany wzór do funkcji f(x)—x*. Wykorzystać ten wyn* wyprowadzenia wzoru dla reszty.

9. Wykazać, ic wzór

j

jest dokładny dla wszystkich wielomianów stopnia 2»-l.