286 2

286

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Przyjmując, że x=x_i-₁ -hi, otrzymujemy wzór

«I--!/"(?,) j hfh(t-\)hd,^h\f“(Q. o

Globalny błąd obcięcia Jest po prostu sumą tych błędów lokalnych. Dla wzoru trąpę^

(7.4.8)    H_r= t e^Ti¹’* L/"«i)=

i-1    <=I

=n"'gdae «e[<i.&].

Dla wzorw prostokątów otrzymujemy, korzystając z reszty wzoru Taylora, podobne ?,_v. rażenie:

(7.4.9)    «t = -3s(*-«)6V"(0-

Tak więc wzór prostokątów jest dokładniejszy cd wzoru trapezów; ten ostatni jednak jest bardziej ekonomiczny, gdy stosuje się ekstrapolację iterowaną Richardsona. (Pamiętajmy, żc prawie połowę wartości funkcji potrzebnych do wyznaczenia T(k) znaleziono już wcześniej, obliczając 7 (2ń); zob. (7.4.4).)

7.4.3. Pewne trudności i możliwości w całkowaniu numeryczny ro

Skuteczność ekstrapolacji i terowanej Richardsona w całkowaniu numerycznym zależy od tego, jak dokładna jest lokalna aproksymacja funkcji całkowanej za pomocą wielomianu. Często warto zbadać możliwość przekształcenia lub modyfikacji danego zadania po to, aby nowa funkcja podcałkowa była bardziej wygodna w' całkowaniu numerycznym.

Jeśli funkcja podcałkowa jest w pewnym punkcie nieskończona, to taka płodyidcacja jest konieczna. Jest tak nawet wtedy, gdy pewna pochodna niskiego rzędu tej lur.kcji jest nieskończona w jakimś punkcie przedziału całkowania lub punkcie leżącym blisko teg® przedziału. Nierzadko się zdarza, że jeden składnik któregoś z opisanych już związany z punktem, gdzie np. pochodna funkcji podcałkowej jest nieskończona, ^wn0SI więk&zy błąd niż wszystkie inne składniki.

Opiszemy teraz pewne typowe sytuacje i środki zaradcze. Rozważymy nąjpictW przypadków, gdy funkcja całkowana ma osobliwość lub jest ..prawie osobliwa ; .{

Przykład 7.4.3. Podstawienie. Niech będzie /= f x~^1!2ć^xdx. Funkcja jest

o

czona dla x=0. Przyjmijmy x—t². Wtedy

f=2 f exp(t²)a't.

Tę całkę można łatwo obliczyć, np. za pomocą metody Rombcrga.