296 2

296    1. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Przykład 7.4.11. Wyprowadzić dwupunklowy wzór Gaussa dla całki

if(x)dx.

Ponieważ jest tu wsi, więc na mocy § 4.4.4 odpowiednim wielomianem orto^^, jest wielomian Legendrc’a /^>2(jc)=4(3x³- I) (m- 1). Stąd a-₀s= — 3^^ Współczynniki wyznacza się, stosując wzór do funkcji f(x) — 1 i f{x)~x:

.4₀ + /t|=2,

Układ ten ma rozwiązanie A₀—A_t = h Wobec tego wzór

i

J f(x)dx*f{3 ^U2) +/(- r' ²) */(0.577350)+/(-0.577350)

-1

jest dokładny dla wszystkich wielomianów stopnia 2m-f 1=3.

Odpowiedni wzór dla przedziału fb) ma postać

P

f    b—af /b + a b-a ,,₂\ Jb+a b-a

j/<*>*«_ |/(-₂- + _:    3 - )₊r(_₂—_ 3 "»)J.

Na przykład

0.25

J exp(x)<te%i[cxp(0.144338) +exp< -0.144338)] = 0.505217.

-0.2S

Dokładny wynik jest równy 2sinh0.25 = 0.505224. Dla porównania podajemy, że wór Simpsona (korzystający z l rzęch wartości funkcji podcałkowej) daje 0.505235.

Niekiedy potrzebne są takie wzory całkowania, w których pewne- punkty .r, są ustalone, a inne wybiera się w opLymalny sposób. W prostych przypadkach takie wzory można zbudować metodą współczynników nieoznaczonych, przy' czym najpierw należy żnałezc współczynniki wielomianu, którego zerami mają być ..swobodne" punkty -V_iv .

Pytania przeglądom

1.    Opisać metodę Romberga (jej uzasadnienie teoretyczne i zastosowania). Udpwotfit^

i wyjaśnić wzór (7.4.4).    ,-^H

2.    Podać wzór Simpsona i jego resztę, wyjaśnić jego związek z metodą

3.    Udowodnić ścisłe wyrażenie dla reszty wzoru trapezów.

4.    Opisać co najmniej trzy sposoby obliczania całek

(a)    z osobliwościami funkcji podcałkowej,

(b)    z przedziałem nieskończonym całkowania.

Podać przykłady.