302 2

302

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Przykład 7.5.5. Jednokrotne użycie ekstrapolacji Richardsona w różniczkom numerycznym (zob. przykład 7.2.5) oznacza, że stosuje się wzór

(UW' 1    ₃, \

\~2ft    ^rT(^^o~7*^a/o)-

Jest to równoważne wzięciu dwóch składników rozwinięcia (7.5.3). Wzór (7.2.8) _{ołR r} iTuiny metodami aproksymacji średni o kwadratowej można napisać w postaci

/© * !_} (tffc +J ^ Vo^ •

W obu wzorach uży wa się tych samych danych, ale w- różnych celach: w pierwszy rr -_rzv. padku wartościf₂ i/_i mają zmniejszyćbłąd obcięcia,a w drugim — skutki przypadkowych błędów wartości funkcji. Jest ciekawo, że trzecią różnicę (którą można uważać za popraw, kę do najprostszego przybliżenia różnicowego pochodnej) wzięto w obu wzorach z przeciwnymi znakami!

Stosując pewr.e proste przekształcenia, można często otrzymać funkcję, którą lepiej niż/przybliża się lokalnie wielomianem. Łatwo to osiągnąć w różniczkowaniu numerycznym.

Przykład 7.5.6. Stablicowano (np. w (34]. str. 30?) funkcje J (x)=x\ i log/(x). Ze schematu różnicowego dla 10<.v<16 wynika, że log/(a) dla xe [10,16] o wiele lepiej niż f{x) przybliża się za pomocą wielomianu (należy^- to sprawdzić!). Ponieważ

ci iog/(.x)    _x f'(x)

-----=tloę <*)    .

dX    f<X)

więc można obliczać /'(*) z wzoru

/'(*} =

/(jc) d !og/U) loge    U:v

w którym drugi czynnik znajduje się metodami różniczkowania numerycznego.

Pytanie przegląd⁰"^e

Rozważyć, jak wpływają różne źródła błędu nu wybór długości kroku w różnic waniu numerycznym (zob. rys. 7.5.1).

£adaB>^a

1.    Dla j (A-)=cosh.v i * = 0.2 obliczyć/'! I) za pomocą dwóch składników wzoru. Porównać wynik z dokładną wartością.

2.    Odtworzyć szczegóły dowodu wzoru (7.5.3).