280 2

280

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

tak duża, jak w powyższym przykładzie. Jest w nim g (y)=y¹-'². a tej funkcji »i_e przybliżyć dobrze wielomianem w przedziale [0.9]. Zauważmy, że g'(0)=oo. Z strony, / (x)=x², a ta funkcja doskonale pasuje do interpolacji Bessela. Di a tego pierwSi metoda jest tu bardziej godna polecenia; nic zawsze jednak tak jest.

Pytaaia przeglądy

1.    Ściśle sformułować i udowodnić twierdzenie o jednoznacznym rozwiązaniu zadania interpolacji wielomianowej (zob. § 4.3).

2.    Kiedy wystarcza interpolacja liniowa?

3.    Udowodnić ogólny wzór interpolacyjny Newtona i twierdzenie 7.3.2 (przyjmując że reszta w interpolacji wielomianowej jest znana).

4.    Udowodnić wzór interpolacyjny Newtona dla węzłów równoodległych, wyprowadzając go z wzoru ogólnego. Jak można łatwo zapamiętać ten wzór?

5.    Dlaczego nie ma sprzeczności ir.iędzy ostrzeżeniem z przedziału 4 przed interpolacją z węzłami równoodległymi i zachętą do korzystania z niej zawartą w niniejszym rozdziale?

6.    Zbadać skutki zaokrąglenia stablicowanych wartości funkcji we wzorze Besala (stopnia co najwyżej piątego) dla

7.    Udowodnić wzór interpolacyjny Lagrangc’a.

8.    Jak wyznaczyć wielomian Q{x) stopnia 2n— 1 taki, że

(2Oj) =/Oj),    <2'Oj) =/'(*;)    0=1,2, ..., n>?

Podać wyrażenie dla reszty.

9.    Opisać dwie metody interpolacji odwrotnej.

Zadam*

1.    (a) Obliczyć /(3) za pomocą interpolacji kwadratowej dla następującej tablicy:

x    |    1    2    4    5

/(x)    |    0    2    12    21

Wykorzystać punkty 1, 2 i 4 oraz punkty 2, 4 i 5 i porównać wyniki.

(b) Obliczyć /(3) za pomocą interpolacji sześciennej.

2.    (a) Obliczyć /(O) za pomocą wzoru interpolacyjnego Newtona dla następuj^ tablicy:

x I 0.1    0.2    0.4    0.8

f(x) |    62 055    56 074    43 609

statecz#

Wzoru interpolacyjnego używa się tu do ekstrapolacji.

(b) Wykazać, że jeśli błędy stablicowanych wartości nic przewyższają to o

błąd /(0) nie przewyższa Z.