290 2

290

?. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Jeśli rozwinięcie po prawej stronie (7.4.10) kończy się rui składniku zawierającym ooek rzędu Ir- 1. a pochodna f^{2r' ²⁾(jt) nie zmienia znaku k* przedziale (a, b)^ to sam zrtak, jak pierwszy pominięty składnik.

Jeśli uzyskać

bez tych założeń podano w (7.4.14).

Dowód. Zauważmy najpierw, że jeśli istnieje rozwinięcie postaci

sśti dodatkowo znaki kolejnych składników są naprzemienne, to dla sumy możentl tac oszacowanie z .góry.: z dołu; zob. twierdzenie 3.1.3. Oszacowanie błędu rluj^ę

(7.4.12)

r-3

T(h)°= lf(x)dx+ £ c_y„ rWł)-/"W + OW,

j-o

to funkcję tworzącą łatwo otrzymać rozważając szczególny przypadek /(*)=₍.^: a=0, b= 1 (nh~ 1). Wtedy mianowicie

e*-\ e—l\ /i (e-!)(<?*+1)

r>

Wobec tego wzór (7.4.12) daje równość

^h '^e ₂(/^(t)r"=' -¹+s o* i'(<-¹)+o (ao .

2(e —1)    /-o

czyli

h e^k+ I    ^p~^z

z, e —\    j=o

W przykładzie 3.1.7 pokazaliśmy, jak można obliczać współczynniki tego rozwinięcia. Dzieląc licznik i mianownik lewej strony przez e*'² przekonujemy się, że jest to funkcja parzysta. Wobec tego po prawej stronię występują tylko parzyste potęgi zmiennej h. Współczynniki szeregu wyrażają się przez tzw. liczby Bernoulliego B_r (zob. [34], str. 387):

^Czr C.2r)l

Aby udowodnić, że rozwinięcie (7.4.12) istnieje, uźyjcm> wzoru wielokrotnego kalkowania przez części, użytecznego również w wielu innych sytuacjach. (Inny dowód, ÓP*^r na technice operatorowej, będzie podany w przykładzie 7.6.4.)

Załóżmy, że funkcja F ma p~tą pochodną ciągłą w [0, I). Niech lunkcjeeiągk ?* Cr,,spełniają związek

£;+,(/}* tfj(l) 0=0, I, ...).

Można łatwo udowodnić indukcyjnie, że

JF(iK7o(f)A-Cl(-l^OCn^lJi +(-irj

o    /=o    o

Przyjmijmy, że C₀( 0 I- Definiując funkcje Cr,, 6», .... można określić stale ^ea^⁰