276 2

276

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Wobec tego ogólnie mamy nierówność

(7.3.16)    (|R*_f| dla wyniku interpolacji)^

<0.5iy+(|/?rf| dla składników wyższych rzędów)

Aby oszacować |R*r| dla składników wyższych rzędów załóżmy, że// jest obarczone błęde fj, gdzie (£,:<$*/. Wobec tego, korzystając z twierdzenia 7.1.1, otrzymujemy nierówności

(|/?_iT| dla d²/-t +d²/o)=|(s₀—+®a)+(śf~‘2£2+^e3)}^!=

= |co—— c₂-ł-e₃|^4-iC/ = 2C/,

(|R_a-,| dla d³/_₁) = |e₀-3c_I+3e₂-€₃|<(l-f3+3+l) iC/=4C/,

<\R_xr\ dla d⁴/-₂+d⁴/__ŁK6l/,

*

(|R*_f| dla 4*/-a)«160.

Maksymalne moduły B", B^J",... podane w (7.3.12) prowadzą do nierówności (|R*_f[ dla wyniku interpolacji za pomocą wzoru Bessela)<

< 0.5 U + 0.0625 • 2 U + 0.0080 •4Ł/+0.0I17-61/ + 0.0009 - 16t/= 0.742*7.

Dla ogólnego wzoru interpolacyjnego Newtona oszacowanie 0.1 U nie jest ogólnie poprawne, ale nierówność (7.3.16) i w tym przy^padku jest prawdziwa. Oszacowania zaburzeń w składnikach wyższych rzędów' można obliczać rekurencyjnic, uwzględniając zaburzenia n, stablicowanych wartości (|£_{| ^££7) i szacując wartości bezwzględne różnic występujących w schemacie różnicowym dla c_t.

7.3.6. Wzór interpolacyjny Lagrange’a

Rozwiązanie zadania interpolacyjnego sformułowanego w § 7.3.1 można wyrazić za pomocą następującego prostego wzoru interpolacyjnego Lagrangea:

(7.3.17)    aw- f fi*M-

i-o

Jest to wzór zorientowany bardziej na rozważania teoretyczne, niż na praktyczne obliczenia. W (7.3.17) 3_t jest wielomianem stopnia m, spełniającym warunki

<7.3.18,    *

dla j—0,Wobec tego

n (^x~^xj)

(7.3.19)    --

(.Xi-Xj)

i

Pozostawiamy czytelnikowi sprawdzenie, że

Q(xj)=fj 0‘«o. 18