292 2

292

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

SO

sgn R_{msgn f ^>^p,(Orf/ * sgn [^(F¹*-*>( I) - F⁴'"¹ >(0))] « a

-■sgnIcW!’

Otrzymujemy stąd, przyjmując p=2r + 2 i sumując równości dla i od 1 do./i, fragment twierdzenia 7.4.2 dotyczący znaku reszty,

W ten sam sposób można też otrzymać oszacowanie reszty:

(7A14)    t R_i|ss|2e_Jr+₂ft^2r+2| $ \f^ir*'*\t)\di:

r= 1    a

jest ono prawdziwe bez założenia o stałym znaku funkcji /^ł2'^42>.

7.4.5. Zastosowania wzoru Eulera-MadaurIna

Wzór Eulera-Macłaurina ma wiele zastosowań:

(a)    Jest to teoretyczna podstawa metody Romberga. Zauważmy, źc jej uzasadnienie wymaga odpowiedniej regularności funkcji /.

(b)    Wzór można stosować do bardzo dokładnego całkowania funkcji, dla której są znane wartości pochodnych w punktach a i b.

(c)    Z w^rzoru wynika duża dokładność wzoru trapezów wtedy, gdy

(7.4.15)    /'(«)=r(b).    r»=f"{M. f^\ay*0Kph -

Wzór trapezów (a także wzór prostokątów) Jest więc bardzo dokładny dia funkcji okresowych, o okresie równym długości przedziału całkowania. Mogłoby się wydawać, że wzór trapezów daje wtedy dokładną wartość całki, gdyż. oprócz niej wszystkie składniki po prawej stronic wzoru (7.4.10) są równe zeru! Trzeba jednak uwzględnić to, że nic zawsze rozwiniecie dane po prawej stronic tego wzoru dąży do lewej strony, gdy r-*co; rob. § 3-2.> Oszacowanie (7.4.14) reszty pokazuje, że błąd wzoru trapezów nie musi dążyć do z-^nł> gdy r dąży do nieskończoności,, a h jest dane. W szczególnym przypadku funkcji okresowej o okresie b—a ten błąd dąży przy h-*0 do zera szybciej niż jakakolwiek potęga h.

Podobne .spostrzeżenia dotyczą użycia wzoru trapezów lub wzoru prostokątów obliczania całek

f f(x)dx_r

~ X

w których wartości funkcji f(x) i jej pochodnych maleją szybko, gdy \x\—«>’• ^zob kład 7.4.7. W tych dwóch przypadkach stosując metodę Romberga nic się nie Tj błędy odpowiednich składników znoszą się wtedy w zadziwiający sposób.

(d)    Najważniejszym zastosowaniem wzoru Eulera-Mactaunna jest jednak mc ^ ^ wanie numeryczne, ale zadanie odwrotne: przybliżanie sum szeregów (numery®®* ■ asymptotycznie), gdy odpowiednia, całkę można obliczyć inną metodą; zob- § 3.2.2*