288 2

288

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

całkuje

Oskich

wzór trapezów lub wzór prostokąta*’ dają często zaskakująco dobrą dokładność, jeśli się funkcję w przedziale [-J?_x, R₂] tak wybranym, aby funkcja f(x) i jej pochodne rzędów były dostatecznie małe dla — Ri i x^R₂-

Przykład 7.4.7. Obliczmy całkę Jexp (-x²)dx. Dla x=±4 funkcja podcałkowa j_Sil

mniejsza niż 10" ⁶. Stosując wzór trapezów do przedziału [-4,4], otrzymuje się wartości przybliżone 1.772636 dla h= 1 i 1.772453 dla A=0.5. (Wartości funkcji należy wziąć z tablic sześciocyfrowych.) Dokładna wartość wynosi iz^l!l = 1.772454. Powód uzyskania tak dobrej dokładności za pomocą wzoru trapezów wyjaśnia się częściowo w § 7.4.5 (c). Błąd obcięcia dla wartości całki jest tu przeszło 10000 razy mniejszy niż błąd obcięcia dla największego składnika we wzorze trapezów' — doskonały przykład „znoszenia się błędów obcięcia”. Błąd wynikły' ze zmiany cc na 4 można oszacować w następujący sposób:

|tf|=2 J exp(— x^z)dx=2 (ęxp(-f)*ir“^1/2dl< i    i6

<24-16~^3/2fexp(-i)<fr=ie‘¹*<J0“'\

16

to

Przykład 7.4.8. /= J (H-x²)"^4/Vjc. Jeśli chcemy uzyskać pięć cyfr ułamkowych

co    O

wyniku, to całkę J możemy pominąć dopiero dla Ra1000. Można jednak postąpić inaczej:

K

rozwinąć funkcję podcałkową względem potęg X”¹ i całkować składnik po składniku:

](\ + x²r^Af*dx= 1 x“^B'³(l +x^!’*)~*^ł*dx**

R    R

= J    ««* +%* - ^20!S-...) dx=

R

_3_ff-s;3 * »-l l/s.14 «-17/3 _— _

— ₅k ,,/<    . _5X/<

Dzięki temu rozwinięciu wystarczy ograniczyć całkowanie numeryczne do przedziału

[0, 8].

Można również próbować podstawień przekształcających przedział (0, co) tiR (0. 1* np. *=exp(—x) łub r = ł/(l -.*). Trzeba jednak wtedy pamiętać o Łym_r aby nie wp^r0* wadzić w ten sposób niepożądanej osobliwości funkcji podcałkowej.

Przykład 7.4.9. Rozważmy znów' całkę z przykładu 7.4.8. Podstawienie t - W ⁺

daje całkę /= f [r²+(l -i)*]"⁴'³r^2/Vr. Nowa funkcja podcałkowa ma pochodną ^,ne-o

skończoną w zerze. Tę osobliw'ość eliminujemy podstawiając /««³:

f= \ [_Mⁱⁱ+(l-uV]-*'^;J-3u⁴du. b

Można już teraz zastosować np. metodę Romberga.