278 2

278

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

73.8. Interpolacja odwrotu*

Zadani^. Dar.a jest tablica wartości funkcji /(*). Rozwiązać równanie/(*)=c, dając, te różnice f(x₀)~c i /(*i)-c mają różne znaki.

Jeśli argumenty w tablicy są równoodległe, to f(x) można aproksymować, korzyst_ają_c z wzoru interpolacyjnego Bessela (7.3.10).

Niech będzie x=x₀+ph. Równanie

fo+pdfo+^B'r(4²f-i+4²f₀)+B'p'Aⁱf„_l+...=c można napisać w postaci

gdzie

To równanie rozwiązuje się iteracyjnie:

c-fo

Po =

4/o

Zauważmy, że przybliżenie początkowe p₀ otrzymano za pomocą interpolacji liniowej. Oszacowanie błędu można otrzymać z (6.6.1), gdzie

m=max |^'(p)|asmax

dp Ąfo

Wo

Ó-.

R_a i R_t są tu odpowiednio błędem zaokrąglenia i błędem obcięcia w obliczaniu licznika funkcji (f>{p)_t a Rc jest skutkiem dzielenia.

Zbieżność jest na ogół szybka, gdyż

2r

4hf’

Jeśli J/'| jest małe, to zadanie jest źle uwarunkowane.    ...

Gdy argumenty w tablicy funkcji / nie są równoodległe, wtedy można postępo^wee podobnie, ale korzystając z ogólnego wzoru interpolacyjnego Newtona.

Pierwotne zadanie można też sformułować inaczej. Dana tablica jest układem P

liczb

>>-.,), (x₀,y₀). (*i.yt).....

regały

gdzie y,—/(Xi) (zob. rys. 7.3.1). Można więc interpretować ją również jako tablicę    ^t “

g(y) odwrotnej do /(x). Jeśli nawet wartości x_t są równoodległe, to wartości Ji z