294 2

294

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

7.4.6. Inne metody całkowania ^au«neryo_7te^_JO

Niech iv(.x) będzie daną funkcją nieuiemną i calkowainą. Całkując wzór interpolacv Lagrangen (7.3.17) z resztą (7.3.2) dowodzi się, że wzór

(7.4.1?)

J fix)w[x)dx»A_cf₀ + AJi -ł- ...+A_mf_m.

m

*

gdzie    4, = f Ą(x) w(x)dx,

jest dokładny dla każtiego wielomianu f(x) stopnia m, a błąd obcięcia R_T jest taki, że

i

S

*

a

gdzie 0(.r) = (x-*„)(*-x,) ..,(x-x_m).

Współczynniki 4, zależą tylko od funkcji wagowej h-(a) i rozmieszczenia punktów {*,-}£ „• W praktyce łatwiej wyznaczyć liczby A, metodą współczynników nieoznaczonych niż z powyższego wzoru całkowego. Gdy punkty x_t są równoległe, wzór (7.4.17) nazywa się wzorem Cotesa.

W pewnych przypadkach wzór (7.4.17) jest dokładny dla wszystkich wielomianów stopnia m większego od m. Jest tak np. dla wzoru Simpsona, gdy m — 2 i m' = 3.

W poniższym twierdzeniu rozważamy sposób dobrego wyboru punktów jr₀*X|.»*

Twierdzenie 7.4.3. Kwadratura Gaussa. Niech w (a) będzie funkcją wagową dodatnią w przedziale (a, ÓJ. Jeśli punkty x_0y a, , .... x_m są zerami wielomianu ę_m+ ■. (*) stopnia m-\ I z rodziny wielomianów ortogonalnych związanej z w(x), to wzór

b

f f{x)w(x)dxxA₀f₀ + 4J_t +

Q

o współczynnikach z (7.4.J7) jest dokładny dla wszystkich wielomianów stopnia 2«*

Dowód. Niech/będzie wielomianem stopnia 2m + ! i niech ą i r oznacza odpowiedni iloraz i resztę z dzielenia / przez <?_m+

f=<ł<Pm+ I +'••

Oba wielomiany q i r mają stopień nie większy od m. Mamy więc

b    N    b    6

f f (x)w{x)dx *= J<j(.'c)o_m,₊ -(a»»v(.vI^a+ J r(.x)»v(A)dx= J r< x)wix)dx J