306 2

306

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Przykład 7.6.2. Wzory różniczkowania numerycznego 2 różnicami cenfrainvmi. 7 ^ finicji 7, § 7.6.1 i wzoru (7.6.2) otrzymujemy, że

tf(*)-/U+ W-f(x - ih)~ If*"'² -

czyli

S= 2sinh(JA/>).

Z [34]. str. 204, wynika, że

	1 sinh‘*x l*'3sihh^sx l-S-Ssinh^7* ^tC=S,nhx 2 3 ^+ 2-4 5 2-4-6 7
Stąd	1    6 1 (a/2)^3 l-3(<5/2)^5 1*3*5 (d/2)^7 2    ^hD 2 2 3 ^+2-4 5 2-4-6 7
czyli
(7.6.7)	^hD = ^“74^ ~ mif ^+ —

(zob. (7.5.1)). Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymuje się

(hD)² * ó² —jjS*    • • •

(zob. (7.5.4)). Rozumując tak samo jak w przykładzie 7.6.1, można upewnić się, że powyższe związki są prawdziwe dla wszystkich wielomianów.

Wzoru (7.6.7) nie można jednak użyć do obliczenia /<J, gdyż różnice Sfo~fa.5-f-0.s1 Pf₀ itd. nie wyrażają się bezpośrednio przez, wartości z. tablicy Funkcji. Można jednak obejść tę Lrudność, stosując następne twierdzenie i mnożąc prawą stronę przez

(7.6.8)

TWIERDZENIE 7.6.2.

\ .

m\ +\ó²y^t,2>

Dowód. Z definicji z § 7.6.1 wynika, że

Hf(x)-łJ{x+łh)+łf{x-W=

+    ^w,'²)/(x)=cosh(i6D)/(x).

Stąd

p=co$h(£fcD),

natomiast wobec (7.6.6)

4<$ = sinb(i/xD). eosb² 5c — sinb² a«* I ,

Ponieważ

więc