5399619726

Jeśli wydzielimy po jednej stronie wielkość odpowiadającą momentowi pędu elektronu na orbicie to dostaniemy: m²v²r² = Ze²mr . Po lewej stronie uzyskanego równania mamy kwadrat momentu pędu; tutaj Bohr wprowadza postulat, że momenty pędu mogą występować tylko w całkowitych porcjach, które są wielokrotnościami stałej Plancka dzielonej przez 2n, co możemy zapisać jako:

L = n h => L² = m²v²r² = n²h² = Ze²mr => r =

mZe'

Mamy już pierwszy ciekawy rezultat - nie wszystkie promienie orbit są dopuszczalne, najmniejszy promień orbity elektronu uzyskamy wstawiając n=l, obliczając ten promień dla atomu wodoru wstawimy liczbę atomową wodoru Z=l.

s 5,3 • 10⁴ fin = 5,3 • 10“'¹ m (2.2)

_nV__lW tic    197MeV • fm

•²/hc    0,5 UMeY-1/137

mZe² mc²e²

Uzyskaliśmy promień Bohra, co oddaje rozmiar atomu wodoru, a kolejne promienie orbit elektronowych wodoru będą wzrastały jak kwadraty liczb całkowitych, czyli 4r, 9r 16r itd. Dopuszczalne promienie są więc skwantowane co jest konsekwencja kwantowania momentu pędu.

Żeby policzyć energie elektronu na poszczególnych orbitach musimy sięgnąć do pojęcia energii potencjalnej i kinetycznej. Klasyczną wielkość energii kinetycznej wyznaczymy z równania (2.1);

g _ ^my2 _ ^k

Energia ta jest dodatnia, w przeciwieństwie do energii potencjalnej, która w polu sił przyciągających jest ujemna. Dla pola kulombowskiego energia potencjalna będzie równa:

E = -

Ze²

Całkowita energia jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej co daje:

E = E.

Ze²    Ze² Ze²

2r    r ~ 2r

Wstawiając wyliczoną wcześniej wartość promienia jądra (wzór 2.2), dostajemy wyrażenie opisujące energie elektronów dla kolejnych liczb n.

(2.3)

_ Ze² _ mZ²e⁴ 2xC-tr

Energie są ujemne, co odzwierciedla fakt, że gdy chcemy wyrwać elektron z atomu musimy energii dostarczyć. Ta dostarczana energia to energia jonizacji. Z kolei gdy elektron obsadza wolną orbitę, emituje porcję energii w postaci fotonu.

Korzystając z gotowego wzoru na energię całkowitą w atomie (wzór 2.3), policzmy tę energię dla orbity Bohra w atomie wodoru. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez kwadrat prędkości światła uzyskamy nasze wcześniej wprowadzone stałe, co pozwoli łatwo wykonać rachunki:

_ mZ²e⁴ _ mc²Z²e⁴ _ 511keV _ 13,6eV 2n²fi² “ 2n²/ż²c² ~ 2n²(l37)² ~ n²

Dla n=l energia na orbicie wynosi -13,6 eV, na kolejnej 4 razy mniej czyli 3,4 eV itd. Oznacza to że elektron spadający z drugiej orbity na pierwszą wyemituje kwant