334 2

334

8. Równania różniczkowe

Twifrdzenje 8.3.1. Niech N będzie liczbą parzystą i niech x Jest wtedy prawdziwe rozwinięcie

y(x, h')=y(x)-i c_xix) h + c_z(x)h* *ł-.. ,

porwalającs stosować ekstrapolację sterowaną Ricirordsona zgodnie z (7.2.12) dlą p_K±2k

Zauważmy, że ::oraz (a d)(h powinien być parzysty dla najdłuższego / kroków uźy wanych w ekstrapolacji. -

Nagłówki w schemacie ekstrapolacji (7.2.12) są (jak w metodzie Rootbergai nasię, pujące:

(ą- 2). Nic będziemy dowodzić powyższego twierdzenia. Zauważany, że rozwinięcie (asymptotycznie poprawne) ma lę samą postać, choć zupełnie inne współczynniki, jak przybliżenie symetryczne pochodnej, na którym oparto metodę.

JEksrrapolcwaną wartość można też wykorzystać jako nową wartość początkową (ekstrapolacja czynna).

Przykład S.3.3. Dla zadania z przykładu S.3.2 otrzymano w punkcie x1 dla różnych długości kroku następujące wyniki.

ii	y{\.k)	±4		&
0.5 0 25 0 125	0.332252741 0.333049l4d 0.3332Ó132S	265468 ^70726	0.333314614 0.333332051	1162	0.333333213

Ponieważ dokładnym rozwiązaniem zaduma jest funkcja >•{.*)-1/(4—a), więc many y(l) = 0.333333333, Błąd ekstrapolowanej wartości jest zatem 60(3 razy mniejszy od błędu przy bl rżćn i a y (1. 0.12 5).

Buiirsch i Stccr [99] zastosował: ekstrapolację opartą na przybliżaniu wartości.v*,-V*j funkcjami wymiernymi zmiennej które wydają się nieco bardziej użyteczne od standardowej ekstrapolacji Richardsona. Algorytm jest jednak bardziej złożony; zob. sir. 93 - 101. gdzie podano również program.

8.3.2. Metoda szeregów potęgowy**

W przykładzie 3.1.2 rozwiązaliśmy zagadnienie początkowe, podstawiając co szereg ze współczynnikami nieoznaczonymi. Z równania różniczkowego otrzymano rekurcńcyjny służący do obliczania tych współczynników.    _:

Tę metodę można powtarzać wielokrotnie. Dla danego dostatecznie dobrego

żenią wektora >-(x„) można określić współczynniki szeregu potęgowego Tego szeregu można użyć do przybliżonego obliczenia    gdzie krok